Soluzione esercizio dìesame, integrale doppio con sostituzione in coordinate polari
Buongiorno ragazzi, come da titolo volevo chiedervi se potreste fornirmi la soluzione corretta di questo esercizio:
$ int int_(d)^( )(1+x/((x^2+y^2)^(1/2)))^2 dx dy $
con D= y>=0, x^2+y^2<=4, y^2>=4-4x
Ovviamente inserisco la mia soluzione, vorrei sapere se è corretta (purtroppo ho solo il testo, senza la soluzione)
il dominio è dato dall'intersezione, nel primo quadrante, della parte compresa fra l'esterno della parabola di equazione
$ x=-y^2/4+1 $ e la parte interna della circonferenza con centro in (0,0) e raggio 2.
La parabola interseca l'asse x in (1,0) e l'asse y in (2,-2). Sostituisco in coordinate polari (lo richiede espressamente l'esercizio),
graficamente vedo che il raggio è compreso fra 1 e 2 (i punti di intersezione con l'asse x rispettivamente della parabola e della circonferenza) e teta e limitato al primo quadrante, ed è quindi compreso fra 0 e $ pi/2 $.
Faccio la sostituzione, considerando il nuovo dominio U, e ottengo il seguente integrale:
$ int int_(U)^( )(1+costheta)^2rho drho d theta $
applico il metodo di riduzione, ottengo ancora (spero di non aver sbagliato in questo punto):
$ int_(0)^(pi/2) (1+costheta)^2 d thetaint_(1)^(2) rho drho $
A questo punto dall'integrale all'estrema destra ricavo 3/2. Dopo aver sciolto il quadrato di un binomio nell'integrale a sinistra ottengo:
$ 3/2(int_(0)^(pi/2) 1+2costheta+cos^2theta)d theta $
Risolvendo singolarmente ognuno di questi integrali e facendo le sostituzioni dei valori ottengo come risultato
$ 3/4pi-2 $
Ora, dal momento che in generale non sono una cima con l'analisi non nutro troppe speranze su questo risultato, perciò mi rivolgo voi chiedendovi una eventuale correzione/spiegazione.
Cordiali saluti,
Rameses
$ int int_(d)^( )(1+x/((x^2+y^2)^(1/2)))^2 dx dy $
con D= y>=0, x^2+y^2<=4, y^2>=4-4x
Ovviamente inserisco la mia soluzione, vorrei sapere se è corretta (purtroppo ho solo il testo, senza la soluzione)
il dominio è dato dall'intersezione, nel primo quadrante, della parte compresa fra l'esterno della parabola di equazione
$ x=-y^2/4+1 $ e la parte interna della circonferenza con centro in (0,0) e raggio 2.
La parabola interseca l'asse x in (1,0) e l'asse y in (2,-2). Sostituisco in coordinate polari (lo richiede espressamente l'esercizio),
graficamente vedo che il raggio è compreso fra 1 e 2 (i punti di intersezione con l'asse x rispettivamente della parabola e della circonferenza) e teta e limitato al primo quadrante, ed è quindi compreso fra 0 e $ pi/2 $.
Faccio la sostituzione, considerando il nuovo dominio U, e ottengo il seguente integrale:
$ int int_(U)^( )(1+costheta)^2rho drho d theta $
applico il metodo di riduzione, ottengo ancora (spero di non aver sbagliato in questo punto):
$ int_(0)^(pi/2) (1+costheta)^2 d thetaint_(1)^(2) rho drho $
A questo punto dall'integrale all'estrema destra ricavo 3/2. Dopo aver sciolto il quadrato di un binomio nell'integrale a sinistra ottengo:
$ 3/2(int_(0)^(pi/2) 1+2costheta+cos^2theta)d theta $
Risolvendo singolarmente ognuno di questi integrali e facendo le sostituzioni dei valori ottengo come risultato
$ 3/4pi-2 $
Ora, dal momento che in generale non sono una cima con l'analisi non nutro troppe speranze su questo risultato, perciò mi rivolgo voi chiedendovi una eventuale correzione/spiegazione.
Cordiali saluti,
Rameses
Risposte
Non ho ricontrollato tutti i tuoi calcoli, ma ad occhio mi sembra sbagliato: se ci pensi, integrare $\theta$ tra $[0,\frac{\pi}{2}]$ significa integrare l'angolo che "viaggia" sul primo quadrante (e questo è giusto) ma integrare $\rho$ tra $[1,2]$ significa
integrare sulle due circonferenze concentriche di raggi rispettivamente $\rho=1$ e $\rho =2$.
Mi riferisco a questo
Il fatto è che il grafico è forviante: è vero che per i punti $(1,0)$ e $(2,2)$ ottieni i valori $\rho=1$ e $\rho=2$, ma il raggio non rimane costante sulla parabola; si "inclina" con essa.
Perciò è come se avessi ignorato il fatto che, da $x=1$, parta un arco di parabola e tu lo abbia considerato come un arco di circonferenza; infatti a $1 \leq \rho \leq 2$ corrisponde $1 \leq x^2+y^2 \leq 4$, quindi è come se tu avessi integrato nella corona circolare invece che tra la parabola e la circonferenza.
Comunque non prendere quello che ti ho appena detto per certo, aspetta pareri più esperti del mio!
integrare sulle due circonferenze concentriche di raggi rispettivamente $\rho=1$ e $\rho =2$.
Mi riferisco a questo
"Rameses":
graficamente vedo che il raggio è compreso fra 1 e 2 (i punti di intersezione con l'asse x rispettivamente della parabola e della circonferenza)
Il fatto è che il grafico è forviante: è vero che per i punti $(1,0)$ e $(2,2)$ ottieni i valori $\rho=1$ e $\rho=2$, ma il raggio non rimane costante sulla parabola; si "inclina" con essa.
Perciò è come se avessi ignorato il fatto che, da $x=1$, parta un arco di parabola e tu lo abbia considerato come un arco di circonferenza; infatti a $1 \leq \rho \leq 2$ corrisponde $1 \leq x^2+y^2 \leq 4$, quindi è come se tu avessi integrato nella corona circolare invece che tra la parabola e la circonferenza.
Comunque non prendere quello che ti ho appena detto per certo, aspetta pareri più esperti del mio!
Ciao, stavo provando a risolvere le disequazioni, volevo chiederti se i passaggi e i ragionamenti che ho fatto son corretti.
Allora, dalla terza disequazione nell'ultimo sistema da te scritto ricavo:
$ rho(rhosin^2theta+4costheta)-4>=0 $ ;
che quindi diventa:
$ rho>=0 $
$ rhosin^2theta+4costheta-4>=0 $
dividendo quest'ultima per $ sin^2theta $ ottengo:
$ rho>=-4costheta/sin^2theta+4/sin^2theta $
A questo punto non sapevo più bene come muovermi, così ho provato a fare questo ragionamento:
$ rho $ è compreso fra 0 e 2 dunque, poichè sostituendo i valori di sin e cos nel'intervallo (0;$ pi/2 $) ottengo valori maggiori di due, l'ultima disequazione è fuori dal mio dominio e quindi in definitiva $ 0<=rho<=2 $ . Solo che non sono minimamente sicuro che ciò che ho appena fatto sia corretto (anche perchè, da che mondo è mondo, questo è un sistema e quindi le soluzioni non le posso considerare singole ma appunto "vanno messe a sistema"). Il problema è che la disequazione $ rho>=-4costheta/sin^2theta+4/sin^2theta $ per me non rappresenta nulla, ovvero non capisco cosa rappresenti graficamente. Un'altro punto che non mi torna è theta....ma è compreso fra 0 e $pi/2$ o fra 0 e $pi$?
Lascio a te i commenti
Cordiali saluti,
Rameses
Allora, dalla terza disequazione nell'ultimo sistema da te scritto ricavo:
$ rho(rhosin^2theta+4costheta)-4>=0 $ ;
che quindi diventa:
$ rho>=0 $
$ rhosin^2theta+4costheta-4>=0 $
dividendo quest'ultima per $ sin^2theta $ ottengo:
$ rho>=-4costheta/sin^2theta+4/sin^2theta $
A questo punto non sapevo più bene come muovermi, così ho provato a fare questo ragionamento:
$ rho $ è compreso fra 0 e 2 dunque, poichè sostituendo i valori di sin e cos nel'intervallo (0;$ pi/2 $) ottengo valori maggiori di due, l'ultima disequazione è fuori dal mio dominio e quindi in definitiva $ 0<=rho<=2 $ . Solo che non sono minimamente sicuro che ciò che ho appena fatto sia corretto (anche perchè, da che mondo è mondo, questo è un sistema e quindi le soluzioni non le posso considerare singole ma appunto "vanno messe a sistema"). Il problema è che la disequazione $ rho>=-4costheta/sin^2theta+4/sin^2theta $ per me non rappresenta nulla, ovvero non capisco cosa rappresenti graficamente. Un'altro punto che non mi torna è theta....ma è compreso fra 0 e $pi/2$ o fra 0 e $pi$?
Lascio a te i commenti
Cordiali saluti,
Rameses
Non potrei essere più serio. Se fossi stato bravo ed avessi avuto tutte le conoscenze matematiche di 'sto mondo non sarei qui a scrivere ma me lo sarei risolto io da solo in 5 minuti.(spero di non sembrare aggressivo o sgarbato, ma ho seriamente la necessità di capire alcuni concetti che non riesco a comprendere, anche perchè il mio libro affronta gli integrali doppi mettendo semplicemente i metodi risolutivi, senza fornire una descrizione dettagliata del procedimento)
ma a,b e c sono 1,4,-4 o $ sin^2theta, 4costheta,-4 $ ? Non capisco, o meglio non so, se sin e cos devo considerarle variabili o se devo considerarli come se valessero 1
[ot]
Non risulti sgarbato, però vorrei spezzare una lancia in favore di TeM: quello che sta fornendo è di fatto un servizio di tutorato, e lo fa con grande competenza. A riprova di questo, prova a dare una occhiata nella lista dei suoi post passati.
Queste sono cose che di solito si pagano. Lui invece lo fa gratis. Lasciagli almeno il diritto di farti un cazziatone quando crede sia necessario.[/ot]
"Rameses":
Non potrei essere più serio. Se fossi stato bravo ed avessi avuto tutte le conoscenze matematiche di 'sto mondo non sarei qui a scrivere ma me lo sarei risolto io da solo in 5 minuti.(spero di non sembrare aggressivo o sgarbato, ma ho seriamente la necessità di capire alcuni concetti che non riesco a comprendere, anche perchè il mio libro affronta gli integrali doppi mettendo semplicemente i metodi risolutivi, senza fornire una descrizione dettagliata del procedimento)
Non risulti sgarbato, però vorrei spezzare una lancia in favore di TeM: quello che sta fornendo è di fatto un servizio di tutorato, e lo fa con grande competenza. A riprova di questo, prova a dare una occhiata nella lista dei suoi post passati.
Queste sono cose che di solito si pagano. Lui invece lo fa gratis. Lasciagli almeno il diritto di farti un cazziatone quando crede sia necessario.[/ot]
Ok, dunque applicando la formula $ -b+-(b^2-4ac)^(1/2)/(2a) $ (ok, questa è scontata anche per me, ma la scrivo per completezza) ottengo:
$ -2costheta/sin^2theta+-4 $
rho non può essere negativo e quindi scarto la soluzione negativa dunque la soluzione è $ rho>=-2costheta/sin^2theta+4 $
Ordunque $ 0<=theta<=pi $ e $ -2costheta/sin^2theta+4<=rho<=2 $. Se non è così giuro che mi ammazzo
$ -2costheta/sin^2theta+-4 $
rho non può essere negativo e quindi scarto la soluzione negativa dunque la soluzione è $ rho>=-2costheta/sin^2theta+4 $
Ordunque $ 0<=theta<=pi $ e $ -2costheta/sin^2theta+4<=rho<=2 $. Se non è così giuro che mi ammazzo
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