Soluzione esatta equazione di poisson

[prezzemolina86]

Salve a tutti!sono "nuova" e ho un problema da risolvere...Sto studiando analisi numerica 2, e dovrei fare il confronto
tra soluzione numerica e soluzione esatta di questa equazione di poisson Δu = -4*pi*u nel dominio quadrato [-1,1]x[-1,1]
con condizioni al contorno nulle.il mio problema è che non so calcolare la soluzione esatta. il prof a lezione dava la soluzione esatta bella e
pronta ed ora io non so che fare! grazie anticipatamente della risposta.[/code][/spoiler]

[prezzemolina86]

scusate c'è un errore. l'equazione è Δu = -4*(pi^2)*u

[Rigel1]

Puoi provare per separazione di variabili, assumendo cioè $u(x,y) = v(x) w(y)$ con $v,w:[-1,1]\to\mathbb{R}$ di classe $C^2$ e nulle in $\pm 1$.

[prezzemolina86]

quindi devo considerare l'omogenea?

[Rigel1]

Separi le variabili come ti ho detto; ottieni
$\frac{v''}{v} + \frac{w''}{w} = -2\pi^2$ in $\Omega = ]-1,1[\times[-1,1[$.
Sia per $v$ che per $w$ ottieni un problema del tipo
$v'' + \lambda v = 0$, $v(-1)=v(1)=0$.
Per poter avere una soluzione non nulla deve essere $\lambda > 0$; in tal caso, risolvendo esplicitamente, ottieni che $\lambda$ può assumere solo i valori
$\lambda_k = \frac{1}{4} k^2 \pi^2$, $k\in\mathbf{N}$ (controlla, potrei avere fatto degli errori).
Di conseguenza devi trovare due naturali $k$ e $j$ tali che
$\lambda_k + \lambda_j = 2\pi^2$, vale a dire $k^2+j^2 = 8$. Questo è possibile solo per $k=j=2$.

EDIT: come osservato da Camillo c'è un fattore 2 che balla.
Ho assunto che l'equazione fosse $\Delta u = -2\pi^2 u$.

[gugo82]

Una soluzione completa in spoiler.

Se, come consigliava Rigel, assumi [tex]$u(x,y)=X(x) Y(y)$[/tex] con [tex]$X,Y:[-1,1]\to \mathbb{R}$[/tex] (cambio le notazioni, ma la storia è quella) trovi:

[tex]$u_x=X^\prime Y,\ u_y=X Y^\prime$[/tex] e [tex]$u_{xx}=X^{\prime \prime} Y,\ u_{yy}=X Y^{\prime \prime}$[/tex]

quindi [tex]$\Delta u (x,y) =X^{\prime \prime} Y+X Y^{\prime \prime}$[/tex]; ne consegue che sostituendo [tex]$u=XY$[/tex] l'equazione si riscrive nella forma:

[tex]$X^{\prime \prime} Y+X Y^{\prime \prime} =-4\pi^2\ XY$[/tex]

dalla quale, supponendo [tex]$X,Y>0$[/tex] in [tex]$]-1,1[^2$[/tex], si ricava:

[tex]$\frac{X^{\prime \prime}}{X} +\frac{Y^{\prime \prime}}{Y} =-4\pi^2$[/tex]

da cui consegue che le funzioni [tex]$\tfrac{X^{\prime \prime}}{X}$[/tex] ed [tex]$\tfrac{Y^{\prime \prime}}{Y}$[/tex] devono essere costanti in [tex]$]-1,1[$[/tex], sicché esistono due valori [tex]$\lambda,\ \mu \in \mathbb{R}$[/tex] tali che [tex]$\tfrac{X^{\prime \prime}}{X} =-\lambda$[/tex] e [tex]$\tfrac{Y^{\prime \prime}}{Y} =-\mu$[/tex]; inoltre, affinché [tex]$u=XY$[/tex] soddisfi le condizioni al bordo, basta che risulti [tex]$X(\pm 1)=0=Y(\pm 1)$[/tex].
Ne consegue che le tue autofunzioni si determinano risolvendo i due problemi con condizioni agli estremi:

[tex]$\begin{cases} X^{\prime \prime} +\lambda X =0 \\ X(-1)=0,\ X(1)=0\end{cases}$[/tex] e [tex]$\begin{cases} Y^{\prime \prime} +\mu Y =0 \\ Y(-1)=0,\ Y(1)=0\end{cases}$[/tex] con [tex]$\lambda, \mu \in \mathbb{R}$[/tex] tali che [tex]$\lambda +\mu =4\pi^2$[/tex]

e prendendo [tex]$u$[/tex] uguale al prodotto di due soluzioni [tex]$X,Y$[/tex] di tali problemi.

Quindi devi innanzitutto risolvere i problemi agli estremi:

[tex]$\begin{cases} X^{\prime \prime} +\lambda X =0 \\ X(-1)=0,\ X(1)=0\end{cases}$[/tex] e [tex]$\begin{cases} Y^{\prime \prime} +\mu Y =0 \\ Y(-1)=0,\ Y(1)=0\end{cases}$[/tex],

trovando soluzioni non nulle (se essi avessero solo la soluzione nulla, allora [tex]$u=0$[/tex] non sarebbe accettabile come autofunzione di [tex]$-\Delta$[/tex]).
Facendo i conti, si vede che se [tex]$\lambda \leq 0$[/tex] allora il problema per [tex]$X$[/tex] non ha soluzione non nulla; analogamente, se [tex]$\mu \leq 0$[/tex] allora il problema per [tex]$Y$[/tex] non ha soluzione non nulla: ne consegue che [tex]$\lambda ,\mu >0$[/tex].
Ma allora le soluzioni dei due problemi saranno del tipo:

[tex]$X(x)=C_1 \cos \sqrt{\lambda}\ x +C_2\sin \sqrt{\lambda}\ x$[/tex] e [tex]$Y(y) =K_1 \cos \sqrt{\mu}\ y +K_2\sin \sqrt{\mu}\ y$[/tex]

e le condizioni iniziali devono servire, in qualche modo, a determinare sia le costanti arbitrarie sia i valori di [tex]$\lambda$[/tex] e [tex]$\mu$[/tex].
Proviamo a vedere cosa succede per il problema su [tex]$X$[/tex]: imponendo che l'integrale generale della EDO soddisfi le condizioni agli estremi si trova che [tex]$C_1$[/tex], [tex]$C_2$[/tex] e [tex]$\lambda$[/tex] soddisfano il sistema:

(*) [tex]$\begin{cases} C_1 \cos \sqrt{\lambda} -C_2 \sin \sqrt{\lambda} =0\\ C_1 \cos \sqrt{\lambda} +C_2 \sin \sqrt{\lambda} =0\end{cases}$[/tex]

il quale è omogeneo, di Cramer rispetto a [tex]$C_1,\ C_2$[/tex] ed ha determinante:

[tex]$D(\lambda):=\begin{vmatrix} \cos \sqrt{\lambda} & -\sin \sqrt{\lambda} \\ \cos \sqrt{\lambda} & \sin \sqrt{\lambda} \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\ \sin 2\sqrt{\lambda}$[/tex];

ne viene che tale sistema ha solo la soluzione nulla ([tex]$C_1=0=C_2$[/tex]) se [tex]$D(\lambda) \neq 0$[/tex] oppure ha infinite soluzioni se [tex]$D(\lambda)=0$[/tex]. Visto che la funzione [tex]$X$[/tex] la cerchiamo non nulla, è evidente che dobbiamo considerare buoni solo i valori di [tex]$\lambda >0$[/tex] tali che [tex]$D(\lambda) =0$[/tex]: essi sono quelli che si ottengono come soluzioni positive dell'equazione [tex]$\sin 2\sqrt{\lambda} = 0$[/tex], ossia:

[tex]$\lambda =\lambda_k = k^2 \frac{\pi^2}{4}$[/tex] con [tex]$k\in \mathbb{N}\setminus \{ 0\}$[/tex];

inoltre, per tale scelta di [tex]$\lambda$[/tex], se $k$ è pari ossia [tex]$k=2h$[/tex], allora [tex]$\sqrt{\lambda} =h\pi$[/tex] e (*) è soddisfatto se [tex]$C_1=0,\ C_2\in \mathbb{R}$[/tex]; mentre se [tex]$k$[/tex] è dispari ossia [tex]$k=2h+1$[/tex], allora [tex]$\sqrt{\lambda} =\tfrac{\pi}{2} +h\pi$[/tex] e perciò (*) è soddisfatto se [tex]$C_2=0,\ C_1\in \mathbb{R}$[/tex].
Riassumendo abbiamo trovato che il problema per [tex]$X$[/tex] ha soluzioni non nulle se e solo se [tex]$\lambda=\lambda_k=k^2 \tfrac{\pi^2}{4}$[/tex] ed in più tali soluzioni sono del tipo:

[tex]$X_k(x) :=\begin{cases} C \cos \frac{k\pi}{2}\ x &\text{, se $k$ è dispari} \\ C \sin \frac{k\pi}{2}\ x &\text{, se $k$ è pari} \end{cases}$[/tex].

Allo stesso modo si ragiona per $Y$, trovando che il problema ha soluzione solo se [tex]$\mu =\mu_h = h^2 \frac{\pi^2}{4}$[/tex] con [tex]$h\in \mathbb{N}\setminus \{ 0\}$[/tex].

Ne viene che per ottenere un'autofunzione devi scegliere [tex]$h,k\in \mathbb{N}\setminus\{ 0\}$[/tex] tali che:

[tex]$\frac{k^2\pi^2}{4} +\frac{h^2\pi^2}{4} =4\pi^2$[/tex] ossia [tex]$k^2+h^2=16$[/tex].

Come notato da Rigel, l'unica possibilità è [tex]$h=2=k$[/tex]; cerchiamo di giustificarlo.
Notiamo che se esistono [tex]$h,k$[/tex] soddisfacenti la [tex]$k^2+h^2=16$[/tex] allora [tex]$\tfrac{1}{2} (h+k)^2\leq 16=h^2+k^2$[/tex] (per una nota disuguaglianza elementare), ergo le coppie di numeri [tex]$(h,k)$[/tex] tra le quali cercare le soluzioni sono quelle tali che [tex]$h+k\leq \sqrt{32}$[/tex], ossia [tex]$h+k\leq 5$[/tex]; si vede che tali coppie sono [tex]$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3)$[/tex] e quelle che da esse si ottengono scambiando di posto gli elementi; tra di esse l'unica soluzione di [tex]$h^2+k^2=16$[/tex] è [tex]$(2,2)$[/tex].
Ne consegue che si devono prendere [tex]$\lambda_2=\pi^2=\mu_2$[/tex] per ottenere la soluzione del problema, la quale è perciò:

[tex]$u(x,y)=X_2(x)Y_2(y)=C \sin \pi x\ \sin \pi y$[/tex],

con [tex]$C$[/tex] costante arbitraria (ovviamente presente, perchè stai risolvendo un problema di autovalori).

[prezzemolina86]

grazie mille a tutti e in particolare a gugo82 per la precisione. ho due perplessità. quando si devono scegliere h e k
che fine fa il meno del secondo membro?
$ (()^(<2>) *()^(<2>) /4)+(()^(<2>) *()^(<2>) /4)=4*()^(<2>) $

e poi:quando trovi la soluzione esatta,visto che h e k sono pari, al posto del coseno non ci
dovrebbe essere il seno?

[gugo82]

Proprio per ovviare all'inconveniente del segno ho posto:

[tex]$\frac{X^{\prime \prime}}{X} =-\lambda$[/tex]

e similmente per [tex]$Y$[/tex], cosicché:

[tex]$\frac{X^{\prime \prime}}{X} +\frac{Y^{\prime \prime}}{Y} =-(\lambda +\mu)$[/tex];

quindi sostituendo [tex]$\lambda=\lambda_k$[/tex] e [tex]$\mu =\mu_h$[/tex] trovi:

[tex]$-\left( \frac{k^2\pi^2}{4}+\frac{h^2\pi^2}{4}\right) =-4\pi^2$[/tex]

ed i meno si cancellano.

[Camillo]

C'è qualcosa che non mi torna.
L'equazione di Poisson è $Delta u =-4pi^2 u $ nel dominio $[-1,1]x[-1,1] $ con condizione al contorno $u=0 $ sull bordo del quadrato.

La soluzione data $u(x,y)= Ccos(pi^2x)*cos(pi^2y ) $ non mi sembra soddisfi la condizione al contorno o sbaglio ?

[gugo82]

@Camillo: Infatti avevo sbagliato a trascrivere da una riga all'altra... Maledetto copia/incolla!
La soluzione corretta è:

[tex]$u(x,y)=C\ \sin \pi x\ \sin \pi y$[/tex].

Correggo e ringrazio per la pronta segnalazione.

[Rigel1]

@gugo: effettivamente la mia soluzione appare piuttosto concisa di fronte alla tua
E sì che mi sembrava di avere messo un sacco di dettagli...

(Confessa che questo post te lo sei riciclato da qualche parte, visto che ti nutri a colazione, pranzo e cena di autovalori del laplaciano.)

[Camillo]

"gugo82":@Camillo: Infatti avevo sbagliato a trascrivere da una riga all'altra... Maledetto copia/incolla!
La soluzione corretta è:

[tex]$u(x,y)=C\ \sin \pi x\ \sin \pi y$[/tex].

Correggo e ringrazio per la pronta segnalazione.

Ci ho pensato tre volte prima di scrivere impossibile che gugo sbagli eppure...

[Camillo]

Ancora non torna la EDP , balla un coefficiente $-2 $ invece che $-4 $

[gugo82]

Vabbé, allora c'è qualche semplificazione fatta male probabilmente... Bisogna rivedere un po' i conti.

[roger_84]

Ciao a tutti, sono nuovo e sto cercando le soluzioni dell'equazione di Poisson $ nabla ^(2)u(x,y)=-1 $ su un dominio quadrato [0,1]x[0,1] con condizioni di Dirichlet su tutto il bordo. Non so se ho fatto bene a inserirmi qua, ma se poteti aiutarmi mi salvate perchè devo consegnare un lavoro.
grazie

Roger[/tex]