Soluzione equazione differenziale lineare secondo ordine

[federicogiorgi]

Ciao,
Non riesco a risolvere questa eqauzione differenziale nella parte che riguarda la ricerca della soluzione particolare, ossia non riesco a trovare il polinomio (di grado zero) da moltiplicare per $ xcos(2x) $ .
L'equazione e`: $ y''+4y=5cos2x $ .
Questo è il risultato a cui mi fermo: $ y(x)=c_1cos2x+c_2sen2x+rxcos2x $ con $ r $ coefficiente da determinare.
Il procedimento che seguo per determinarlo inizia dall'informazione che la soluzione particolare è della forma $ y(x)=rxcos2x $
Derivando due volte (ho controllato e credo di non avere sbagliato i calcoli) e sostituendo nell'equaizone mi viene: $ -4rsen2x=5cos2x $ ossia $ r=-(5arctg2x)/4 $ . Sostituito nella forma iniziale il risultato è $ y(x)=-5xcos^2(2x)/(4sen2x) $ . Il risultato corretto è invece $ y(x)=5(sen2x)/4 $ .
Grazie per l'aiuto

[21zuclo]

"FG818":
Questo è il risultato a cui mi fermo: $ y(x)=c_1cos2x+c_2sen2x+rxcos2x $ con $ r $ coefficiente da determinare.

perché devi determinare il coefficiente $r$ ?

in generale quando un'equazione differenziale non omogenea $ y^(k)+\sum_(j=0)^(k-1)a_j y^((j))=b(x) $

ove $ b(x)=e^(\alphax)[A\sin(\beta x)+B\cos(\beta x)] $
con $ A,B \in RR, \alpha\pm i\beta $ sono radici del polinomio caratteristico con molteplicità $r$ tra le soluzioni vi è una funzione del tipo
$ y_(om)= x^r \exp(\alpha x)[C\sin(\beta x)+D\cos(\beta x)] $

nel tuo caso
si ha $ y_(om)(x)=x(C\sin(2x)+D\cos(2x)) $

nel tuo caso $r=1$ perché hai 2 radici semplici, con molteplicità 1

ora devi derivare 2 volte quest'ultima e sostituire e poi ti determini quanto valgono C e D

[federicogiorgi]

Grazie!! Per r intendevo il coefficiente C. Ho capito dove sbagliavo: non consideravo il coefficiente D, che avevo posto per errore pari a zero.