Soluzione equazione differenziale completa

[mikandrea]

Buongiorno,
ho dei problemi nello svolgimento del seguente quesito:
"Si consideri la soluzione y(t) del problema di Cauchy \( y''-2y'=\tan(t) \) con y(0)=0 e y'(0)=1. Allora scegli un'alternativa:

a) il polinomio \( p(t)=t+t^2+\frac{2}{3}t^3 \) è il polinomio di MacLaurin di ordine 3 della soluzione y(t).
b) il polinomio \( p(t)=1+t+t^2+\frac{5}{6}t^3 \) è il polinomio di MacLaurin di ordine 3 della soluzione y(t).
c) il polinomio \( p(t)=t+2t^2+5t^3 \) è il polinomio di MacLaurin di ordine 3 della soluzione y(t).
d) i dati del problema non sono sufficienti a determinare il polinomio di MacLaurin della soluzione.
e) il polinomio \( p(t)=t+t^2+\frac{5}{6}t^3 \) è il polinomio di MacLaurin di ordine 3 della soluzione y(t)."

Ho scartato subito l'opzione (b) dato che \( p(0)\neq 0 \). Ho provato tutti le altre opzioni ma nessuna mi ha portato ad una soluzione convincente. L'unica che ci si avvicina è la (e).

Nello svolgimento della (e) ho iniziando trovando le derivate prima e seconda di p(t). \( p'(t)=1+2t+\frac{5}{2}t^2 \), \( p''(t)=2+5t \). Inserendo queste nell'equazione iniziale ottengo \( t-5t^2=tan(t) \). L'unico motivo per cui dico che questo risultato si avvicina è dovuto al fatto che uno degli sviluppi della tangente è \( tan(t)=t+o(t^2) \).
Credo però di star commettendo un'errore nello svolgimento.

Grazie

[pilloeffe]

Ciao mikandri,

Beh, si ha:

$y''(0) - 2y'(0) = 0 \implies y''(0) = 2y'(0) = 2 $

Derivando poi si ha:

$y'''(t)-2y''(t) = tan'(t) = tan^2 t + 1 $

Quindi $ y'''(0) - 2y''(0) = 1 \implies y'''(0) = 1 + 2y''(0) = 1 + 4 = 5 $

Pertanto la risposta corretta è proprio la e), come peraltro avevi già intuito...