Soluzione equazione differenziale
Ciao a tutti, ho qualche problema con una equazione differenziale molto semplice.
La E.D.O. è questa:
$(dQ)/(dt)= epsilon/R + Q/(RC)$
$R$ e $C$ sono costanti appartenenti ai numeri reali e la funzione da trovare è ovviamente $Q(t)$.
Leggo che la soluzione è la seguente:
$Q(t) = epsilonC + Ae^(-t/(RC))$
$A$ è una costante, che, ponendo condizioni iniziali $Q(0)=0$ risulta essere $A=-epsilonC$.
Quello che non capisco è:
come fa $epsilonC$ a comparire nella espressione di $(dQ)/ (dt)$ ? Essendo una costante non dovrebbe sparire una volta che derivo?
Nota: questo E.D.O. viene fuori da alcune nozioni basi di Fisica 2, ovvero dallo studio di un circuito con una resistenza ed un condensatore
La E.D.O. è questa:
$(dQ)/(dt)= epsilon/R + Q/(RC)$
$R$ e $C$ sono costanti appartenenti ai numeri reali e la funzione da trovare è ovviamente $Q(t)$.
Leggo che la soluzione è la seguente:
$Q(t) = epsilonC + Ae^(-t/(RC))$
$A$ è una costante, che, ponendo condizioni iniziali $Q(0)=0$ risulta essere $A=-epsilonC$.
Quello che non capisco è:
come fa $epsilonC$ a comparire nella espressione di $(dQ)/ (dt)$ ? Essendo una costante non dovrebbe sparire una volta che derivo?
Nota: questo E.D.O. viene fuori da alcune nozioni basi di Fisica 2, ovvero dallo studio di un circuito con una resistenza ed un condensatore
Risposte
Che succede se derivi $f_{\varepsilon,C) (x):=\varepsilon C x$ rispetto ad $x$?
Ciao tauto,
Scusa, ma mi sembra molto semplice: si tratta della carica di un condensatore inizialmente scarico ($Q(0) = 0$) in un circuito $RC$
Dopo qualche semplice passaggio dovresti riuscire ad ottenere il risultato seguente:
$Q(t) = Q_{\infty} (1 - e^{-t/\tau}) $
ove $ Q_{\infty} := \epsilon C $ e la costante di tempo $\tau := RC $
Scusa, ma mi sembra molto semplice: si tratta della carica di un condensatore inizialmente scarico ($Q(0) = 0$) in un circuito $RC$
Dopo qualche semplice passaggio dovresti riuscire ad ottenere il risultato seguente:
$Q(t) = Q_{\infty} (1 - e^{-t/\tau}) $
ove $ Q_{\infty} := \epsilon C $ e la costante di tempo $\tau := RC $
"Mephlip":
Che succede se derivi $f_{\varepsilon,C) (x):=\varepsilon C x$ rispetto ad $x$?
però non vedo nessuna variabile indipendente a moltiplicare $epsilonC$ nella definizione della soluzione $Q(t)$.
Se ci fosse scritto
$Q(t)= epsilonC*t +...$
allora mi spiegherei perché compare $epsilonC$ nella derivata!
"pilloeffe":
Ciao tauto,
Scusa, ma mi sembra molto semplice: si tratta della carica di un condensatore inizialmente scarico ($Q(0) = 0$) in un circuito $RC$
Dopo qualche semplice passaggio dovresti riuscire ad ottenere il risultato seguente:
$Q(t) = Q_{\infty} (1 - e^{-t/\tau}) $
ove $ Q_{\infty} := \epsilon C $ e la costante di tempo $\tau := RC $
Nella definizione di $Q(t)$ non ci dovrebbe essere scritto:
$Q(t) = Q_{\infty} (t - e^{-t/\tau}) $
?
Se non fosse così, non capisco perché, derivando, $epsilonC$ rimane!
A me la soluzione sembra sbagliata. Se $Q(t)=\varepsilon C+A \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)$ fosse soluzione verificherebbe l'equazione differenziale, tuttavia l'uguaglianza
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(\varepsilon C+A \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right)=\frac{\varepsilon}{R}+\frac{1}{RC} \left(\varepsilon C+A \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right)\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow -\frac{A}{RC} \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)=\frac{\varepsilon}{R}+\frac{\varepsilon}{R}+\frac{A}{RC} \exp \left(\frac{-t}{RC}\right)$$
È falsa.
La soluzione corretta è $Q(t)=-\varepsilon C +A\exp\left(\frac{t}{RC}\right)$, infatti:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(-\varepsilon C +A \exp\left(\frac{t}{RC}\right)\right)=\frac{\varepsilon}{R}+\frac{1}{RC} \left(-\varepsilon C +A \exp\left(\frac{t}{RC}\right)\right)\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow \frac{A}{RC} \exp \left(\frac{t}{RC}\right)=\frac{\varepsilon}{R}-\frac{\varepsilon}{R}+\frac{A}{RC} \exp \left(\frac{t}{RC}\right)\Leftrightarrow 0=0$$
In sostanza hai fatto (o ha fatto il tuo testo/la fonte da cui hai preso la soluzione) degli errori di segno nella soluzione (sono invertiti il segno dell'esponente dell'esponenziale con il segno della costante $\varepsilon C$); oppure c'è un errore di trascrizione qui sul forum. Sicuro che l'equazione differenziale
Sia questa?
Per quanto riguarda l'altro dubbio: ammetto di aver letto frettolosamente e quindi scusami per l'altra risposta, avevo completamente filtrato che avevi scritto la soluzione.
La costante compare perché è il coefficiente di un esponenziale che, nel momento in cui si applicano le condizioni iniziali, ha esponente $0$.
Ecco perché compare anche senza termini lineari in $t$ nella soluzione dell'equazione differenziale.
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(\varepsilon C+A \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right)=\frac{\varepsilon}{R}+\frac{1}{RC} \left(\varepsilon C+A \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right)\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow -\frac{A}{RC} \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)=\frac{\varepsilon}{R}+\frac{\varepsilon}{R}+\frac{A}{RC} \exp \left(\frac{-t}{RC}\right)$$
È falsa.
La soluzione corretta è $Q(t)=-\varepsilon C +A\exp\left(\frac{t}{RC}\right)$, infatti:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(-\varepsilon C +A \exp\left(\frac{t}{RC}\right)\right)=\frac{\varepsilon}{R}+\frac{1}{RC} \left(-\varepsilon C +A \exp\left(\frac{t}{RC}\right)\right)\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow \frac{A}{RC} \exp \left(\frac{t}{RC}\right)=\frac{\varepsilon}{R}-\frac{\varepsilon}{R}+\frac{A}{RC} \exp \left(\frac{t}{RC}\right)\Leftrightarrow 0=0$$
In sostanza hai fatto (o ha fatto il tuo testo/la fonte da cui hai preso la soluzione) degli errori di segno nella soluzione (sono invertiti il segno dell'esponente dell'esponenziale con il segno della costante $\varepsilon C$); oppure c'è un errore di trascrizione qui sul forum. Sicuro che l'equazione differenziale
"anonymous_58f0ac":
La E.D.O. è questa:
$(dQ)/(dt)= epsilon/R + Q/(RC)$
$R$ e $C$ sono costanti appartenenti ai numeri reali e la funzione da trovare è ovviamente $Q(t)$.
Sia questa?
Per quanto riguarda l'altro dubbio: ammetto di aver letto frettolosamente e quindi scusami per l'altra risposta, avevo completamente filtrato che avevi scritto la soluzione.
La costante compare perché è il coefficiente di un esponenziale che, nel momento in cui si applicano le condizioni iniziali, ha esponente $0$.
Ecco perché compare anche senza termini lineari in $t$ nella soluzione dell'equazione differenziale.
In realtà è corretta la soluzione, ma è sbagliata l'equazione differenziale... 
Infatti indicando con $V_C(t) $ la differenza di potenziale fra le armature del condensatore $C$ all’istante $t$, applicando la legge di Kirchhoff delle maglie al circuito $RC$ si ha:
$\epsilon - V_C(t) = Ri(t) $
Tenendo conto che $V_C(t) = (Q(t))/C $ e $i(t) = \frac{\text{d}Q}{\text{d}t} $ si ottiene l'equazione differenziale seguente:
$ \frac{\text{d}Q}{\text{d}t} = \epsilon/R - (Q(t))/(RC) $
Si tratta di un’equazione differenziale a variabili separabili. Separando quindi le variabili $Q$ e $t$ si ha:
$ \frac{\text{d}Q}{Q - \epsilon C} = - \frac{\text{d}t}{RC} $
Integrando ambo i membri fra l’istante $t = 0 $ di chiusura dell’interruttore (quando $t = 0 $ si ha $Q(0) = 0 $) ed il generico istante $t$ si ha:
$\int_{Q(0) = 0}^{Q(t)} \frac{\text{d}q}{q - \epsilon C} = - \int_0^t \frac{\text{d}\theta}{RC} $
$[ln|q - \epsilon C|]_0^{Q(t)} = - [\frac{\theta}{RC}]_0^t $
$ ln[\frac{Q(t) - \epsilon C}{-\epsilon C}] = - \frac{t}{RC} $
ove il modulo è stato omesso in quanto sicuramente $ Q(t) - \epsilon C < 0 $ e quindi $\frac{Q(t) - \epsilon C}{-\epsilon C} > 0 $. Infatti $\epsilon C $ è il massimo valore che può assumere la carica $Q(t) $ sull’armatura positiva del condensatore, perché quando $ Q(t) = \epsilon C $ la differenza di potenziale $V_C(t) = (Q(t))/C $ ha raggiunto il valore $V_C(t) = \epsilon $, cioè è uguale alla forza elettromotrice della batteria, la quale non è quindi più in grado di far circolare alcuna carica essendoci nel circuito una differenza di potenziale uguale ed opposta che la contrasta. Passando dal logaritmo al suo argomento si ha:
$ \frac{Q(t) - \epsilon C}{-\epsilon C} = e^{- \frac{t}{RC}} $
Dopo qualche semplice passaggio si ottiene proprio quanto ti ho già scritto nel mio post precedente:
$ Q(t) = Q_{\infty} (1 - e^{-t/\tau}) $
ove $ Q_{\infty} := \epsilon C $ e la costante di tempo $\tau := RC $
Infatti indicando con $V_C(t) $ la differenza di potenziale fra le armature del condensatore $C$ all’istante $t$, applicando la legge di Kirchhoff delle maglie al circuito $RC$ si ha:
$\epsilon - V_C(t) = Ri(t) $
Tenendo conto che $V_C(t) = (Q(t))/C $ e $i(t) = \frac{\text{d}Q}{\text{d}t} $ si ottiene l'equazione differenziale seguente:
$ \frac{\text{d}Q}{\text{d}t} = \epsilon/R - (Q(t))/(RC) $
Si tratta di un’equazione differenziale a variabili separabili. Separando quindi le variabili $Q$ e $t$ si ha:
$ \frac{\text{d}Q}{Q - \epsilon C} = - \frac{\text{d}t}{RC} $
Integrando ambo i membri fra l’istante $t = 0 $ di chiusura dell’interruttore (quando $t = 0 $ si ha $Q(0) = 0 $) ed il generico istante $t$ si ha:
$\int_{Q(0) = 0}^{Q(t)} \frac{\text{d}q}{q - \epsilon C} = - \int_0^t \frac{\text{d}\theta}{RC} $
$[ln|q - \epsilon C|]_0^{Q(t)} = - [\frac{\theta}{RC}]_0^t $
$ ln[\frac{Q(t) - \epsilon C}{-\epsilon C}] = - \frac{t}{RC} $
ove il modulo è stato omesso in quanto sicuramente $ Q(t) - \epsilon C < 0 $ e quindi $\frac{Q(t) - \epsilon C}{-\epsilon C} > 0 $. Infatti $\epsilon C $ è il massimo valore che può assumere la carica $Q(t) $ sull’armatura positiva del condensatore, perché quando $ Q(t) = \epsilon C $ la differenza di potenziale $V_C(t) = (Q(t))/C $ ha raggiunto il valore $V_C(t) = \epsilon $, cioè è uguale alla forza elettromotrice della batteria, la quale non è quindi più in grado di far circolare alcuna carica essendoci nel circuito una differenza di potenziale uguale ed opposta che la contrasta. Passando dal logaritmo al suo argomento si ha:
$ \frac{Q(t) - \epsilon C}{-\epsilon C} = e^{- \frac{t}{RC}} $
Dopo qualche semplice passaggio si ottiene proprio quanto ti ho già scritto nel mio post precedente:
$ Q(t) = Q_{\infty} (1 - e^{-t/\tau}) $
ove $ Q_{\infty} := \epsilon C $ e la costante di tempo $\tau := RC $
"Mephlip":
La costante compare perché è il coefficiente di un esponenziale che, nel momento in cui si applicano le condizioni iniziali, ha esponente $0$.
Ecco perché compare anche senza termini lineari in $t$ nella soluzione dell'equazione differenziale.
Il mio dubbio sta tutto nella frase che ho appena quotato... purtroppo continuo a non capire...
Abbiamo fatto un po' di confusione, cerco di riassumere quotando e in caso correggimi se sbaglio nel cercare di capire quello a cui stavi pensando.
Prima tu dici questo
Ossia ti chiedi come mai $\varepsilon C$ compaia nell'espressione della derivata (ossia al membro di destra dell'equazione differenziale), ma questo non è vero: compare nell'espressione della soluzione, come dici giustamente qua
Credo che i fraintendimenti vengano dal fatto che non ti è perfettamente chiaro cosa sia un'equazione differenziale, partiamo dal risolvere (sperabilmente) il dubbio: a priori non c'è alcuna ragione per pensare che $\varepsilon C$ debba scomparire perché la soluzione dell'equazione differenziale viene derivata, perché le equazioni differenziali (detto molto brutalmente, se vuoi trovare una definizione rigorosa cerca meglio sul forum o su opportuni testi) sono problemi che mettono in relazione una funzione $Q$ con le sue derivate fino a un certo ordine (in questo caso primo ordine, c'è solo la derivata prima) e le funzioni $\phi$ che rendono vera quest'uguaglianza per ogni $t$ in un certo intervallo vengono dette soluzioni.
Nel tuo caso hai la seguente richiesta: "cerca una funzione $Q=Q(t)$ tale che la derivata di $Q$ rispetto a $t$ sia uguale alla costante $\frac{\varepsilon}{R}$ alla quale devi sottrarre la funzione $Q$ stessa divisa per $RC$" (ossia il termine $-\frac{Q}{RC}$, mi sto rifacendo alla soluzione di pilloeffe perché sembra che l'equazione differenziale scritta da te all'inizio contenesse un errore).
Tale funzione $Q$ è $Q(t)=\varepsilon C -\varepsilon C e^{-\frac{t}{RC}$: come vedi dall'equazione differenziale, mentre è vero che al membro di sinistra la soluzione è derivata e dunque eventuali costanti hanno derivata nulla, al membro di destra è richiesta la presenza di $-\frac{Q}{C}$ e $Q$ contiene la costante $\varepsilon C$ nella sua espressione (ciò lo vedi risolvendo l'equazione differenziale ed applicando le condizioni iniziali). Perciò, a causa della presenza di $Q$ al membro di sinistra, compare la costante $\varepsilon C$.
Forse ora è chiaro, scusami ancora se ci abbiamo messo un po' perché ho frainteso il tuo dubbio all'inizio; ti consiglio caldamente almeno di sapere bene cosa sia un'equazione differenziale, o è naturale avere questi dubbi.
Prima tu dici questo
"anonymous_58f0ac":
Quello che non capisco è:
come fa $epsilonC$ a comparire nella espressione di $(dQ)/ (dt)$ ? Essendo una costante non dovrebbe sparire una volta che derivo?
Ossia ti chiedi come mai $\varepsilon C$ compaia nell'espressione della derivata (ossia al membro di destra dell'equazione differenziale), ma questo non è vero: compare nell'espressione della soluzione, come dici giustamente qua
"anonymous_58f0ac":
però non vedo nessuna variabile indipendente a moltiplicare $epsilonC$ nella definizione della soluzione $Q(t)$.
Credo che i fraintendimenti vengano dal fatto che non ti è perfettamente chiaro cosa sia un'equazione differenziale, partiamo dal risolvere (sperabilmente) il dubbio: a priori non c'è alcuna ragione per pensare che $\varepsilon C$ debba scomparire perché la soluzione dell'equazione differenziale viene derivata, perché le equazioni differenziali (detto molto brutalmente, se vuoi trovare una definizione rigorosa cerca meglio sul forum o su opportuni testi) sono problemi che mettono in relazione una funzione $Q$ con le sue derivate fino a un certo ordine (in questo caso primo ordine, c'è solo la derivata prima) e le funzioni $\phi$ che rendono vera quest'uguaglianza per ogni $t$ in un certo intervallo vengono dette soluzioni.
Nel tuo caso hai la seguente richiesta: "cerca una funzione $Q=Q(t)$ tale che la derivata di $Q$ rispetto a $t$ sia uguale alla costante $\frac{\varepsilon}{R}$ alla quale devi sottrarre la funzione $Q$ stessa divisa per $RC$" (ossia il termine $-\frac{Q}{RC}$, mi sto rifacendo alla soluzione di pilloeffe perché sembra che l'equazione differenziale scritta da te all'inizio contenesse un errore).
Tale funzione $Q$ è $Q(t)=\varepsilon C -\varepsilon C e^{-\frac{t}{RC}$: come vedi dall'equazione differenziale, mentre è vero che al membro di sinistra la soluzione è derivata e dunque eventuali costanti hanno derivata nulla, al membro di destra è richiesta la presenza di $-\frac{Q}{C}$ e $Q$ contiene la costante $\varepsilon C$ nella sua espressione (ciò lo vedi risolvendo l'equazione differenziale ed applicando le condizioni iniziali). Perciò, a causa della presenza di $Q$ al membro di sinistra, compare la costante $\varepsilon C$.
Forse ora è chiaro, scusami ancora se ci abbiamo messo un po' perché ho frainteso il tuo dubbio all'inizio; ti consiglio caldamente almeno di sapere bene cosa sia un'equazione differenziale, o è naturale avere questi dubbi.
"Mephlip":
"cerca una funzione $Q=Q(t)$ tale che la derivata di $Q$ rispetto a $t$ sia uguale alla costante $\frac{\varepsilon}{R}$ alla quale devi sottrarre la funzione $Q$ stessa divisa per $RC$" (ossia il termine $-\frac{Q}{RC}$, mi sto rifacendo alla soluzione di pilloeffe perché sembra che l'equazione differenziale scritta da te all'inizio contenesse un errore).
E perché la seguente funzione non andrebbe bene:
$Q(t) = (epsilon/R)t + e^{-t/\tau} $
?
Non soddisfa l'equazione differenziale. Infatti sostituendo la $Q$ che hai proposto nell'equazione differenziale:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(\frac{\varepsilon}{R}t+e^{-\frac{t}{\tau}}\right)=\frac{\varepsilon}{R}-\frac{1}{RC}\left(\frac{\varepsilon}{R}t+e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \Leftrightarrow \frac{\varepsilon}{R}-\frac{1}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}=\frac{\varepsilon}{R}-\frac{\varepsilon t}{R^2 C}-\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{\tau}}$$
Visto che $\tau$ sembra essere pari ad $RC$ (magari mantenere una sola notazione potrebbe aiutare chi legge), proseguendo il calcolo dall'ultima uguaglianza otteniamo:
$$0=-\frac{\varepsilon t}{R^2 C}$$
Disuguaglianza falsa per $t\ne0$, ma tu cerchi soluzioni per tutti i tempi suppongo (ossia per ogni $t\geq 0$).
Quindi ti chiedo: cosa sai di equazioni differenziali?
La soluzione di un'equazione differenziale la puoi verificare da solo, come ti ho già mostrato in un precedente intervento in questo post e ho rifatto ora. Quindi la risposta sarebbe dovuta essere solo "dovresti dirmelo tu perché non va bene", non ha senso che ti metti a cercare di capire senza una base di teoria minima.
Capisco i dubbi e la curiosità, ma è dura rispondere ai dubbi se l'interlocutore non può recepire (non perché non ci arriva, ma perché gli mancano le basi fondamentali).
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(\frac{\varepsilon}{R}t+e^{-\frac{t}{\tau}}\right)=\frac{\varepsilon}{R}-\frac{1}{RC}\left(\frac{\varepsilon}{R}t+e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \Leftrightarrow \frac{\varepsilon}{R}-\frac{1}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}=\frac{\varepsilon}{R}-\frac{\varepsilon t}{R^2 C}-\frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{\tau}}$$
Visto che $\tau$ sembra essere pari ad $RC$ (magari mantenere una sola notazione potrebbe aiutare chi legge), proseguendo il calcolo dall'ultima uguaglianza otteniamo:
$$0=-\frac{\varepsilon t}{R^2 C}$$
Disuguaglianza falsa per $t\ne0$, ma tu cerchi soluzioni per tutti i tempi suppongo (ossia per ogni $t\geq 0$).
Quindi ti chiedo: cosa sai di equazioni differenziali?
La soluzione di un'equazione differenziale la puoi verificare da solo, come ti ho già mostrato in un precedente intervento in questo post e ho rifatto ora. Quindi la risposta sarebbe dovuta essere solo "dovresti dirmelo tu perché non va bene", non ha senso che ti metti a cercare di capire senza una base di teoria minima.
Capisco i dubbi e la curiosità, ma è dura rispondere ai dubbi se l'interlocutore non può recepire (non perché non ci arriva, ma perché gli mancano le basi fondamentali).
Mephlip ti ringrazio, sei stato molto gentile. Se dicessi che ho capito non mentirei, tuttavia le mie basi sono tutt altro che solide. Ho molte lacune sulle equazioni differenziali. Sto studiando parecchio in questi giorni, spero di riuscire a colmarle
Prego! Non ti preoccupare, è normale essere confusi quando si è alle prime armi con un argomento nuovo; poi le equazioni differenziali sono un argomento complicato, quindi è ancora meno semplice districarsi.
È sempre bene avere una buona base teorica prima di cimentarsi negli esercizi o nella risoluzione pratica, questo vale per ogni argomento.
Per qualsiasi cosa ci siamo, anzi, ti chiedo scusa nuovamente se le prime risposte non hanno centrato il tuo dubbio.
È sempre bene avere una buona base teorica prima di cimentarsi negli esercizi o nella risoluzione pratica, questo vale per ogni argomento.
Per qualsiasi cosa ci siamo, anzi, ti chiedo scusa nuovamente se le prime risposte non hanno centrato il tuo dubbio.
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