Soluzione equazione differenziale

[VisX]

Buonasera

Risolvendo un problema di Fisica mi sono imbattuto nel seguente problema di Cauchy:
$ \frac{rg}{3}=\frac{4}{3}r\ddot{r}\frac{\rho}{\sigma}+4\frac{\rho}{\sigma}\dot{r}^2 , r(0)=0 $. Non riuscendo a risolverlo, sono andato a tentativi ed ho trovato che l'equazione è risolta da $ r=\frac{g\rho}{56\sigma}(t-t_{0})^2$. Basandomi su considerazioni fisiche ritengo che la soluzione del problema sia la funzione $ r(t)=0 $ per $t<0$ , $r(t)=\frac{g\rho}{56\sigma}t^2$ per $t\geq0$. Vorrei sapere se esiste un modo per dimostrare che questa è l'unica soluzione.
Grazie mille

[.Ruben.17]

L'ho risolta
Te la posto appena ho un pc sottomano
in ogni caso per avere una unica soluzione bisogna conoscere il valore della derivata prima almeno in un punto

[VisX]

Ops, ho dimenticato di aggiungere che $\dot{r}(0)=0$

[.Ruben.17]

Ho riscritto il problema di cauchy nella seguente forma:
$k_1 r \ddot{r} + k_2 (\dot{r})^2 = k_3 r$
$\dot{r}(0)=0, r(0)=0$

pongo $z = \dot(r)$
ottengo: $\ddot{r}=z \cdot \dot{z}$

Riscrivo l'eq.:
$k_1 \cdot r \cdot z \cdot \dot{z} + k_2 z^2 = k_3 r$

opero la sostituzione:
$w(r)=w=z^2$
$(dw)/(dr)=\dot{w}=2z \cdot \dot{z}$

riscrivo l'eq.:
$k_1 \dot{w} r/2 + k_2 w = k_3 r$
$\dot{w}+(2k_2)/(k_1) 1/r w = (2k_3)/(k_1)$

Moltiplico per $r^((2k_2)/(k_1))$
$ r^((2k_2)/(k_1)) \dot{w} + r^((2k_2)/(k_1)-1) w = (2k_3)/(k_1) r^((2k_2)/(k_1))$

Riconosco la derivata:
$d(r^((2k_2)/(k_1)) \cdot w)/(dr) = (2k_3)/(k_1) r^((2k_2)/(k_1))$

$d(r^((2k_2)/(k_1)) \cdot w) = (2k_3)/(k_1) r^((2k_2)/(k_1)) dr$

$ r^((2k_2)/(k_1)) \cdot w = (2k_3)/(k_1) r^((2k_2)/(k_1) +1)/((2k_2)/(k_1) +1) + C$

grazie a $\dot(r)(0)=0$ ottengo C=0

quindi $w= (2k_3)/(2k_2 + k_1) r $

$\dot{r}^2 = (2k_3)/(2k_2 + k_1) r$
$\dot{r}= \sqrt{(2k_3)/(2k_2 + k_1) r} $

$(dr)/(dt) = \sqrt{(2k_3)/(2k_2 + k_1) r}$
$(dr)/(\sqrt{(2k_3)/(2k_2 + k_1) r}) = dt$

$2 \sqrt{(2k_2 + k_1)/(2k_3)} \sqrt{r} = t + C_2$

con la condizione $r(0)=0$ ottengo $C_2 = 0$

quindi(semplificando l'espressione): $ r= ((k_{3}/(2(2k_2+k_1))) t^2$

Sostituendo le costanti con quelle da te fornite ottengo:
$r= (g \sigma)/(56 \rho) t^2$

Come vedi la soluzione è identica alla tua tranne che per lo scambio numeratore-denominatore di $\rho$ e $\sigma$
(ho provato a sotituire nell'eq. sia la mia che la tua soluzione; solo la mia effettivamente funziona)