Soluzione EDO lineare completa del primo ordine

[gorgeous.george]

Saluti e auguri a tutti!

Alle prese con le esercitazioni per l'esame di analisi 2, mi sono imbattuto in quesa eq. diff. che non riesco a risolvere:

$ y'=y/x (y-1) $

si tratta di una equazione di Bernoulli, se non erro, quindi ho sostituito

$ u(x)=1/(y(x)) $

ottenendo quindi la suddetta EDO lineare completa del primo ordine

$ u'(x)=u(x) - 1/x $

Qui sorge il mio problema: per risolverla, trovo la soluzione dell'omogenea associata, che e' del tipo

$ z(x)=ce^x $

mentre una soluzione particolare della mia ED e' data da

$ \overline{y}=int_(x_0)^(x) (-1/t)e^(x-t) dt $

non so risolvere questo integrale.
Per avere un'idea di dove si vada a parare, ho provato a risolvere l'integrale indefinito corrispondente su wolfram alpha, il quale restituisce come soluzione la funzione esponenziale integrale (https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_integrale_esponenziale), che non conoscevo e reputo improbabile come soluzione per l'esercizio.

Qualcuno puo' indirizzarmi sulla retta via? Dove ho sbagliato?

Grazie mille in anticipo e buone feste.

Giacomo

[cooper1]

è moooolto più rapido risolverla con la separazione delle variabili. sinceramente i tuoi conti non li ho letti però.
quello che devi risolvere con la separazione delle variabili è questo: $ int (y')/(y(y-1))=int1/xdx $

[gorgeous.george]

Vero!
Grazie del suggerimento, purtroppo avevo visto prima Bernoulli e mi ci ero impuntato.

A buon rendere

Giacomo

[seb1]

cooper ha scritto esattamente quello che avrei osservato io, perciò non mi resta che completare notando che nella riduzione dell'equazione a lineare ti sei scordato un termine \(\frac{1}{x}\) e sarebbe \(u'=\frac{1}{x}(u-1)\).

[gorgeous.george]

E grazie anche a te,
continuavo a non trovare l'errore nonostante avessi rifatto i calcoli piu' volte.

Saluti!