Soluzione di una serie e segno della derivata prima
Salve a tutti ho riscontrato problemi nello studio del carattere della seguente serie:
Determinare i valori del parametro $alpha in RR$ per i quali converge assolutamente la serie
$ sum_(n=1)^(+oo) 3^(-1/n)*(sinh (1/n) - n^alpha + 1/n^3) $
io ho riscritto la serie come:
$ sum_(n=1)^(+oo) 3^(-1/n)*(1/n + 1/(6n^3) - n^alpha + 1/n^3 ) $
ma non so più come procedere...
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per studiare la seguente funzione:
$ f(x) = ((x-1)^2)/(e-e^x) $
trovo la derivata prima, se non ho sbagliato i calcoli dovrebbe essere:
$ (x^2e^x - 4xe^x + 2xe + 3e^x - 2e)/(e-e^x)^2 $
ma non so come determinare quando il numeratore è maggiore di zero. Come faccio?
Ringrazio anticipatamente per qualsiasi risposta
Determinare i valori del parametro $alpha in RR$ per i quali converge assolutamente la serie
$ sum_(n=1)^(+oo) 3^(-1/n)*(sinh (1/n) - n^alpha + 1/n^3) $
io ho riscritto la serie come:
$ sum_(n=1)^(+oo) 3^(-1/n)*(1/n + 1/(6n^3) - n^alpha + 1/n^3 ) $
ma non so più come procedere...
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Per studiare la seguente funzione:
$ f(x) = ((x-1)^2)/(e-e^x) $
trovo la derivata prima, se non ho sbagliato i calcoli dovrebbe essere:
$ (x^2e^x - 4xe^x + 2xe + 3e^x - 2e)/(e-e^x)^2 $
ma non so come determinare quando il numeratore è maggiore di zero. Come faccio?
Ringrazio anticipatamente per qualsiasi risposta
Risposte
Anzitutto ti chiederei di rimuovere i trattini, dal momento che "spaginano".
In secondo luogo, la serie non è scritta bene. Mancano la variabile muta su cui sommi (immagino sia n) e/o gli estremi della sommatoria. Inoltre la formattazione corretta per una sommatoria è questa:
$sum_(k=a)^b f(k)$, dove $a$ e $b$ sono parametri fissati tali che $a<=b$, e $f(k)$ è una qualsiasi funzione di $k$
Per lo studio della derivata, basta massaggiare un po' per rendere le cose più chiare.
$(2(x-1)1(e-e^x) + (x-1)^2e^x1)/(e-e^x)^2=((x-1)(2e-2e^x +xe^x-e^x))/(e-e^x)^2=((x-1)(2e+e^x(x-3)))/(e-e^x)^2$
Il numeratore ha uno zero doppio in 1, ma anche il denominatore...
In secondo luogo, la serie non è scritta bene. Mancano la variabile muta su cui sommi (immagino sia n) e/o gli estremi della sommatoria. Inoltre la formattazione corretta per una sommatoria è questa:
$sum_(k=a)^b f(k)$, dove $a$ e $b$ sono parametri fissati tali che $a<=b$, e $f(k)$ è una qualsiasi funzione di $k$
Per lo studio della derivata, basta massaggiare un po' per rendere le cose più chiare.
$(2(x-1)1(e-e^x) + (x-1)^2e^x1)/(e-e^x)^2=((x-1)(2e-2e^x +xe^x-e^x))/(e-e^x)^2=((x-1)(2e+e^x(x-3)))/(e-e^x)^2$
Il numeratore ha uno zero doppio in 1, ma anche il denominatore...
Scusa se ho scritto male ma come avrai notato sono nuovo di questo forum 
Tornando al segno della derivata sono d'accordo con te che sia il denominatore che il numeratore si annullano in 1, ma per quanto riguarda il secondo membro del numeratore, ossia:
$ 2e + e^x(x-3) > 0 $
come faccio a trovare quando è positivo?
Tornando al segno della derivata sono d'accordo con te che sia il denominatore che il numeratore si annullano in 1, ma per quanto riguarda il secondo membro del numeratore, ossia:
$ 2e + e^x(x-3) > 0 $
come faccio a trovare quando è positivo?
"rikk91":
Salve a tutti ho riscontrato problemi nello studio del carattere della seguente serie:
Determinare i valori del parametro $alpha in RR$ per i quali converge assolutamente la serie
$ sum_(n=1)^(+oo) 3^(-1/n)*(sinh (1/n) - n^alpha + 1/n^3) $
io ho riscritto la serie come:
$ sum_(n=1)^(+oo) 3^(-1/n)*(1/n + 1/(6n^3) - n^alpha + 1/n^3 ) $
ma non so più come procedere...
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Per studiare la seguente funzione:
$ f(x) = ((x-1)^2)/(e-e^x) $
trovo la derivata prima, se non ho sbagliato i calcoli dovrebbe essere:
$ (x^2e^x - 4xe^x + 2xe + 3e^x - 2e)/(e-e^x)^2 $
ma non so come determinare quando il numeratore è maggiore di zero. Come faccio?
Ringrazio anticipatamente per qualsiasi risposta
Guarda che caso! era il mio appello 11/02/2011 (unipd)
la soluzione intera in dettaglio è lunghissima da scrivere cmq io avevo fatto:
$ sum_(n=1)^(+oo) 3^(-1/n)*(sinh (1/n) - n^alpha + 1/n^3)$ ~
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(3^(1/n))*(1/n - n^alpha + 1/n^3)$~
$sum_(n=1)^(+oo) (1/(e^((1/n)ln3))*((n^2 - n^(alpha+3) + 1)/n^3) $
$sum_(n=1)^(+oo) (1/(e^0)*((n^2 - n^(alpha+3) + 1)/n^3)$
adesso è fatta. valuti se $alpha+3>2$ allora trascuri $n^2+1$.. accumula tutto al denominatore, e considerando la serie armonica concludi subito.. e in modo simile valuti quando è minore.., almeno cosi avevo fatto all'esame.
ciao!!
"f4st":
Guarda che caso! era il mio appello 11/02/2011 (unipd)
la soluzione intera in dettaglio è lunghissima da scrivere cmq io avevo fatto:
$ sum_(n=1)^(+oo) 3^(-1/n)*(sinh (1/n) - n^alpha + 1/n^3)$ ~
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(3^(1/n))*(1/n - n^alpha + 1/n^3)$~
$sum_(n=1)^(+oo) (1/(e^((1/n)ln3))*((n^2 - n^(alpha+3) + 1)/n^3) $
$sum_(n=1)^(+oo) (1/(e^0)*((n^2 - n^(alpha+3) + 1)/n^3)$
adesso è fatta. valuti se $alpha+3>2$ allora trascuri $n^2+1$.. accumula tutto al denominatore, e considerando la serie armonica concludi subito.. e in modo simile valuti quando è minore.., almeno cosi avevo fatto all'esame.
ciao!!
non è un caso... ero lì anch'io quel fatidico giorno... aula P3...
Quindi hai sostituito $ senh(1/n) $ con $ 1/n $
non ho mai capito quando basta sostituire con 1/n e quindi non mettere tutto lo sviluppo di ordine 1 di $ senh(x) = x + (x^3)/6 + o(x^3) $ per x che tende a 0 come ho fatto io...
Poi avevo il dubbio che non si potesse fare il denominatore comune... almeno non l'ho mai visto fare dai prof o nel libro... Sei sicuro che sia la soluzione corretta?
"rikk91":
non ho mai capito quando basta sostituire con 1/n e quindi non mettere tutto lo sviluppo di ordine 1 di $ senh(x) = x + (x^3)/6 + o(x^3) $ per x che tende a 0 come ho fatto io...
Poi avevo il dubbio che non si potesse fare il denominatore comune... almeno non l'ho mai visto fare dai prof o nel libro... Sei sicuro che sia la soluzione corretta?
Nelle sostituzioni c'è una regola molto semplice: bisogna fermarsi all'ordine minore per cui il termine considerato non si annulli subito..
se a posto di quel $1/n^3$ ci fosse $-1/n$ il sinh scomparirebbe senza lasciare traccia cosa che non deve succedere.. xke perdiamo tutto l'informazione del sinh.. in quel caso bisogna per forza andare avanti con l'ordine..
ma visto che ora il 1/n nn si annulla quindi ci basta...
non posso garantirti che sia giusto, aspetta qualcun'altro più bravo!
"rikk91":
Scusa se ho scritto male ma come avrai notato sono nuovo di questo forum
Tornando al segno della derivata sono d'accordo con te che sia il denominatore che il numeratore si annullano in 1, ma per quanto riguarda il secondo membro del numeratore, ossia:
$ 2e + e^x(x-3) > 0 $
come faccio a trovare quando è positivo?
mi sono bloccato anche io li! anzi tutta l'aula P3 era in crisi!
quella disequazione non è omogenea per la presenza di $xe^x$ l'unico modo era di studiare due pezzi separatamente, poi sovrapporre i grafici , e dare una stima del punto.. -.-
"f4st":
Nelle sostituzioni c'è una regola molto semplice: bisogna fermarsi all'ordine minore per cui il termine considerato non si annulli subito..
se a posto di quel $1/n^3$ ci fosse $-1/n$ il sinh scomparirebbe senza lasciare traccia cosa che non deve succedere.. xke perdiamo tutto l'informazione del sinh.. in quel caso bisogna per forza andare avanti con l'ordine..
ma visto che ora il 1/n nn si annulla quindi ci basta...
non posso garantirti che sia giusto, aspetta qualcun'altro più bravo!
Speriamo che arrivi questo qualcuno... comunque ti ringrazio per il chiarimento
ti do una piccola indicazione in più per la disequazione:
vuoi studiare $xe^x-3e^x+2e>0$ cioè
$xe^x-3e^x>$$-2e$
$e^x(x-3)>$$-2e$ cioè
$x-3>$$-2e/e^x$
hai da studiare quando le ordinate di una retta ($y_1=x-3$) è maggiore di una curva $y_2=-2e/e^x$
calcola per esempio $y_1(0)=0-3=-3$ poi $y_1(3)=3-3=0$ e disegni la retta
$y_2(0)=-2e/e^0=-2e$
$y_2(1)=-2e/e^1= -2 =y_1(1)=1-3$ primo punto di intersezione
e c'è un secondo punto di intersezione $c$ tra (2.5,2.6) ma nn importa esattamente dove sicuramente dopo x=1
per $x->+oo y_2->0^-$
cmq facendo il grafico di queste semplicissime funzioni vedi che per x<1 e x>c la retta è maggiore mentre in mezzo è maggiore la curva
cioè per $x<1$ e $x>c$ la tua disequazione equivalente $x-3>$$-2e/e^x$ è soddisfatta (è soddisfatta ovviamente anche $xe^x-3e^x+2e>0$ iniziale) ora puoi studiare il segno della derivata
spero sia chiaro
vuoi studiare $xe^x-3e^x+2e>0$ cioè
$xe^x-3e^x>$$-2e$
$e^x(x-3)>$$-2e$ cioè
$x-3>$$-2e/e^x$
hai da studiare quando le ordinate di una retta ($y_1=x-3$) è maggiore di una curva $y_2=-2e/e^x$
calcola per esempio $y_1(0)=0-3=-3$ poi $y_1(3)=3-3=0$ e disegni la retta
$y_2(0)=-2e/e^0=-2e$
$y_2(1)=-2e/e^1= -2 =y_1(1)=1-3$ primo punto di intersezione
e c'è un secondo punto di intersezione $c$ tra (2.5,2.6) ma nn importa esattamente dove sicuramente dopo x=1
per $x->+oo y_2->0^-$
cmq facendo il grafico di queste semplicissime funzioni vedi che per x<1 e x>c la retta è maggiore mentre in mezzo è maggiore la curva
cioè per $x<1$ e $x>c$ la tua disequazione equivalente $x-3>$$-2e/e^x$ è soddisfatta (è soddisfatta ovviamente anche $xe^x-3e^x+2e>0$ iniziale)
ora puoi studiare il segno della derivataspero sia chiaro
Sisi sei stato chiarissimo grazie mille
"f4st":
la soluzione intera in dettaglio è lunghissima da scrivere cmq io avevo fatto:
$ sum_(n=1)^(+oo) 3^(-1/n)*(sinh (1/n) - n^alpha + 1/n^3)$ ~
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(3^(1/n))*(1/n - n^alpha + 1/n^3)$~
$sum_(n=1)^(+oo) (1/(e^((1/n)ln3))*((n^2 - n^(alpha+3) + 1)/n^3) $
$sum_(n=1)^(+oo) (1/(e^0)*((n^2 - n^(alpha+3) + 1)/n^3)$
adesso è fatta. valuti se $alpha+3>2$ allora trascuri $n^2+1$.. accumula tutto al denominatore, e considerando la serie armonica concludi subito.. e in modo simile valuti quando è minore.., almeno cosi avevo fatto all'esame.
ciao!!
ho provato a fare come dici tu:
$alpha+3>2 hArr alpha>-1$
quindi la serie diventa:
$-sum_(n=1)^(+oo) (1/n^(-alpha))$ quindi CONVERGE $ hArr -alpha>1 hArr alpha<-1$
Cosa che contraddice quanto detto all'inizio quindi non coverge mai...
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