Soluzione di \( e^x = -x \)
Ciao a tutti,
mi sono imbattuto nell'espressione analitica della soluzione in \( \mathbb{R} \) dell'equazione
\[ e^x = -x \]
cioè nell'espressione della funzione \( W \) di Lambert valutata in \( 1 \) e cambiata di segno; in definitiva
\[ x = -W(1) \]
Qualcuno di voi (io non ne ho la più pallida idea) mi sa spiegare come si arriva concettualmente a tale soluzione?
mi sono imbattuto nell'espressione analitica della soluzione in \( \mathbb{R} \) dell'equazione
\[ e^x = -x \]
cioè nell'espressione della funzione \( W \) di Lambert valutata in \( 1 \) e cambiata di segno; in definitiva
\[ x = -W(1) \]
Qualcuno di voi (io non ne ho la più pallida idea) mi sa spiegare come si arriva concettualmente a tale soluzione?
Risposte
La restrizione a $I=[-1,1]$ della funzione $f(x)=x e^x:RR to RR$ è una biiezione continua tra $I$ e $[-1/e,e]$
(per verificare ciò ci stai dentro comodo con l'Analisi I):
dettane $W(x)$ l'inversa,e posto $y=-W(1)$(o se si preferisce $W(1)=-y$..),
avremo allora per definizione $f(-y)=-y e^(-y)=1 rArr -y=e^y$
.
Saluti dal web.
(per verificare ciò ci stai dentro comodo con l'Analisi I):
dettane $W(x)$ l'inversa,e posto $y=-W(1)$(o se si preferisce $W(1)=-y$..),
avremo allora per definizione $f(-y)=-y e^(-y)=1 rArr -y=e^y$
.Saluti dal web.
Sì, ok, me l'hai mostrato nel senso contrario. Però mi hai dato l'ispirazione:
\[ e^x = -x \rightarrow -xe^{-x} = 1 \rightarrow w(-x) = 1 \rightarrow -x = W(1) \rightarrow x = -W(1) \]
dove \( w \) è per definizione l'inversa della funzione di Lambert.
Ora, la cosa più interessante è la seguente.
Grazie a Wolfram Alpha, ho scoperto che tale \( -W(1) \) ammette degli sviluppi integrali, tra cui uno reale che descrive esplicitamente la soluzione: mi riferisco all'espressione
\[ -W(1) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{\sin \frac{t}{2} \left [ \sin \frac{3t}{2} + e^{\cos t} \sin \left ( \frac{5t}{2} - \sin t \right ) \right ]}{1 + e^{2\cos t} + 2e^{\cos t} \cos \left ( t - \sin t \right )}\ \text{d}t \]
e controllando con un software grafico ho visto che un valore approssimato di questo integrale è proprio nella zona dell'ascissa soluzione.
La domanda è: c'è un modo per ricavare tale sviluppo integrale? Se sì, qualcuno sa come?
\[ e^x = -x \rightarrow -xe^{-x} = 1 \rightarrow w(-x) = 1 \rightarrow -x = W(1) \rightarrow x = -W(1) \]
dove \( w \) è per definizione l'inversa della funzione di Lambert.
Ora, la cosa più interessante è la seguente.
Grazie a Wolfram Alpha, ho scoperto che tale \( -W(1) \) ammette degli sviluppi integrali, tra cui uno reale che descrive esplicitamente la soluzione: mi riferisco all'espressione
\[ -W(1) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{\sin \frac{t}{2} \left [ \sin \frac{3t}{2} + e^{\cos t} \sin \left ( \frac{5t}{2} - \sin t \right ) \right ]}{1 + e^{2\cos t} + 2e^{\cos t} \cos \left ( t - \sin t \right )}\ \text{d}t \]
e controllando con un software grafico ho visto che un valore approssimato di questo integrale è proprio nella zona dell'ascissa soluzione.
La domanda è: c'è un modo per ricavare tale sviluppo integrale? Se sì, qualcuno sa come?
Per una risposta esaustiva in merito,un pò perché quella di Làmbert è una funzione speciale ed un pò per le importanti applicazioni che l'hanno resa recente oggetto d'attenzione nel campo della Fisica,
ho paura tu debba attendere le spiegazioni d'un paio di pilastri di questo Forum o di un "outsider" con approfondite nozioni d'Analisi Complessa;
nel frattempo io posso solo limitarmi a dire che,se volessi provare ad attaccare il tuo problema coi mezzi dell'Analisi Reale
(non troppo convintamente,perché ad istinto quell'uguaglianza richiede quanto meno la formula d'Eulero per esser dimostrata..),
penserei di partire dalla forma integrale del resto dello sviluppo di Taylor di $W(x)$:
puoi provare,se vuoi,ma non t'assicuro nulla
(e non ti nascondo che non lo faccio da me perché,pur essendo la questione interessante,lo spirito di autoconservazione mi porta,almeno per oggi,
a non intraprendere una strada che probabilmente sarebbe un buco nell'acqua..)!
Saluti dal web.
ho paura tu debba attendere le spiegazioni d'un paio di pilastri di questo Forum o di un "outsider" con approfondite nozioni d'Analisi Complessa;
nel frattempo io posso solo limitarmi a dire che,se volessi provare ad attaccare il tuo problema coi mezzi dell'Analisi Reale
(non troppo convintamente,perché ad istinto quell'uguaglianza richiede quanto meno la formula d'Eulero per esser dimostrata..),
penserei di partire dalla forma integrale del resto dello sviluppo di Taylor di $W(x)$:
puoi provare,se vuoi,ma non t'assicuro nulla
(e non ti nascondo che non lo faccio da me perché,pur essendo la questione interessante,lo spirito di autoconservazione mi porta,almeno per oggi,
a non intraprendere una strada che probabilmente sarebbe un buco nell'acqua..)!
Saluti dal web.
Va bene grazie comunque, intanto aspettiamo altri pareri.
"Riccardo Desimini":
Grazie a Wolfram Alpha, ho scoperto che tale \( -W(1) \) ammette degli sviluppi integrali, tra cui uno reale che descrive esplicitamente la soluzione: mi riferisco all'espressione
\[ -W(1) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{\sin \frac{t}{2} \left [ \sin \frac{3t}{2} + e^{\cos t} \sin \left ( \frac{5t}{2} - \sin t \right ) \right ]}{1 + e^{2\cos t} + 2e^{\cos t} \cos \left ( t - \sin t \right )}\ \text{d}t \]
e controllando con un software grafico ho visto che un valore approssimato di questo integrale è proprio nella zona dell'ascissa soluzione.
La domanda è: c'è un modo per ricavare tale sviluppo integrale? Se sì, qualcuno sa come?
Ci sarà pure, ovviamente... Prova a cercare riferimenti sul Abramowitz & Stegun (puoi consultarlo anche online qui), oppure sul Gradshteyn & Ryzhik.
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