Soluzione di equazione trascendente
Buongiorno a tutti. Durante lo svolgimento di un esercizio mi sono ritrovato a dover risolvere l'equazione $e^(T/x)=1+2T/x$. Il testo mi indica che la soluzione è $x=T/(0.4 \pi)$. Personalmente però non riesco a capire come giungere a questo valore. Tra l'altro ho provato a risolvere tale equazione con WolframAlpha e questo mi indica una soluzione che fa uso delle funzioni W di Lambert, ossia $x=-2/(2 W_(-1)(-1/(2 sqrt(e)))+1)$. Ponendo $T=1$, ho visto che in effetti la soluzione proposta dal libro e quella proposta da WolframAlpha coincidono fino alla 3 cifra decimale. Credo quindi che la soluzione indicata dal libro sia solo un'approssimazione della soluzione analitica, nonostante il libro utilizzi un'uguaglianza stretta per indicare la soluzione. Secondo voi è corretta questa mia considerazione oppure mi sfugge qualcosa? Se fosse vero che si tratta di un'approssimazione, qualcuno ha idea di come ottenerla?
Risposte
la puoi approssimare con il metodo di bisezione fissata una tolleranza per l'errore; solitamente si può fare così quando le soluzioni precise sono complicate
Grazie 
Da dove esce $pi$?
Ad ogni modo, osserva che introducendo la variabile ausiliaria $t = T/x$ il problema si riscrive $e^t = 1 + 2t$, che è un’equazione non elementarmente risolubile (e ciò spiega la presenza della fantomatica funzione $W$ di Lambert nelle soluzioni calcolate da software).
Tuttavia, osserva che la retta di equazione $y = 2t + 1$ passa per $(0,1)$ ed ha coefficiente angolare maggiore della retta di equazione $ y = t + 1$ tangente al grafico $y = e^x$ della funzione esponenziale nel punto $(0,1)$; visto che l’esponenziale è strettamente convesso, oltre a $(0,1)$ il grafico incontra la retta $y = 2t + 1$ in un unico altro punto $(tau, e^tau)$ con $tau > 0$ e, per $0tau$ il grafico è al disopra.
Visto che per $t=1$ si ha $e = e^1 < 3 = 2*1+1$, risulta $1< tau$; d’altro canto, visto che $e^(1.5) approx 4.48 > 4 = 2*1.5 + 1$, si ha $tau < 1.5$.
Ne viene che la tua equazione è soddisfatta dagli $x$ tali che $T/x = tau$, i.e. da $x = T/tau$ e che tale valore di $x$ giace tra $(2T)/3 = T/(1.5)$ e $T$.
Ad ogni modo, osserva che introducendo la variabile ausiliaria $t = T/x$ il problema si riscrive $e^t = 1 + 2t$, che è un’equazione non elementarmente risolubile (e ciò spiega la presenza della fantomatica funzione $W$ di Lambert nelle soluzioni calcolate da software).
Tuttavia, osserva che la retta di equazione $y = 2t + 1$ passa per $(0,1)$ ed ha coefficiente angolare maggiore della retta di equazione $ y = t + 1$ tangente al grafico $y = e^x$ della funzione esponenziale nel punto $(0,1)$; visto che l’esponenziale è strettamente convesso, oltre a $(0,1)$ il grafico incontra la retta $y = 2t + 1$ in un unico altro punto $(tau, e^tau)$ con $tau > 0$ e, per $0
Visto che per $t=1$ si ha $e = e^1 < 3 = 2*1+1$, risulta $1< tau$; d’altro canto, visto che $e^(1.5) approx 4.48 > 4 = 2*1.5 + 1$, si ha $tau < 1.5$.
Ne viene che la tua equazione è soddisfatta dagli $x$ tali che $T/x = tau$, i.e. da $x = T/tau$ e che tale valore di $x$ giace tra $(2T)/3 = T/(1.5)$ e $T$.
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