Soluzione del problema di Cauchy

[Sk_Anonymous]

Ciao, volevo chiedervi gentilmente se mi potete aiutare per risolvere il seguente esercizio.

"Qual è la soluzione del problema di Cauchy $ y''+ 4y = 0 , y(0)=0, y'(0)=1$?

Se non erro, prima devo calcolare :

- L'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale omogenea in questione, è del tipo $r^2+ar+b$
in questo caso $a=0 , b=4$ quindi ottengo $r^2 + 4=0$.

- Poichè $a^2<4b$ la soluzione generica ha radici complesse. La soluzione generale dell'equazione differenziale è del tipo $Ce^(alpha t)cos(beta t + omega)$ con radici complesse $alpha=-a/2$ e $beta=sqrt(b-a^2/4)
in questo caso $alpha=0$ e $beta=2$ e la soluzione generale è $Ccos(2x+omega)$

è giusto dire che
$y(x)=Ccos(2x+omega)$ ed $y'(x)=-2Csin(2x+omega)$?

...e qui (sempre che non abbia sbagliato già) non so più come come continuare...

[Nidhogg]

"giampfrank":

"Qual è la soluzione del problema di Cauchy $ y''+ 4y = 0 , y(0)=0, y'(0)=1$?

La soluzione è: $y=sin(2x)/2$

L'equazione caratteristica dell'equazione differenziale $y''+4y=0$ è: $lambda^2+4=0$. Otteniamo $lambda_{1,2}=+-2*i$.

Se le soluzioni dell'equazione caratteristica sono i numeri complessi coniugati $alpha+i*beta$ e $alpha-i*beta$, allora l'integrale generale è dato da:

$y=c_1*e^(alpha*x)*cos(beta*x)+c_1*e^(alpha*x)*sin(beta*x)$.

Nel nostro caso $alpha=0$ e $beta=2$. Quindi si ha: $y=c_1*cos(2*x)+c_2*sin(2x)$.

Imponendo le condizioni iniziali si ha:

$y(0)=c_1=0$

$y'(0)=2c_2=1$

da cui

$c_1=0$ e $c_2=1/2$

Quindi la soluzione del problema è:

$y=sin(2x)/2$