Soluzione carattere serie
Ciao a tutti ragazzi, ho questa serie:
$ sum_(n = 1)^(+oo) (3n^2-1)/(n^alpha+5n)=an $
Sono riuscito a concludere che è una serie a termini positivi, e poi ho considerato i vari casi di $alpha$:
$alpha>2 lim_n an=0$
$alpha<2 lim_n an=+oo$
$alpha=2 lim_n an=3$
$alpha=0 lim_n an=+oo^0$
Se $0
Se $alpha>2$ Utilizziamo il criterio d'Alembert, quindi:
$ lim_(n -> oo) ([3n^2-1]/[n^alpha+5n])^(1/n) = lim_(n->oo) ((3n^2-1)^(1/n))/((n^alpha(1+(5n)/(n^alpha)))^(1/n)) = +oo $
Possiamo dire che per d'Alembert la nostra serie diverge.
per quanto riguarda $alpha=0$ ho la $f.i$ e sinceramente non saprei come scioglierla.
Potete aiutarmi per quanto riguarda l'ultimo caso? E per quanto riguarda gli altri casi, sono corretti?
Spero di essere stato chiaro, grazie anticipatamente a tutti
$ sum_(n = 1)^(+oo) (3n^2-1)/(n^alpha+5n)=an $
Sono riuscito a concludere che è una serie a termini positivi, e poi ho considerato i vari casi di $alpha$:
$alpha>2 lim_n an=0$
$alpha<2 lim_n an=+oo$
$alpha=2 lim_n an=3$
$alpha=0 lim_n an=+oo^0$
Se $0
Se $alpha>2$ Utilizziamo il criterio d'Alembert, quindi:
$ lim_(n -> oo) ([3n^2-1]/[n^alpha+5n])^(1/n) = lim_(n->oo) ((3n^2-1)^(1/n))/((n^alpha(1+(5n)/(n^alpha)))^(1/n)) = +oo $
Possiamo dire che per d'Alembert la nostra serie diverge.
per quanto riguarda $alpha=0$ ho la $f.i$ e sinceramente non saprei come scioglierla.
Potete aiutarmi per quanto riguarda l'ultimo caso? E per quanto riguarda gli altri casi, sono corretti?
Spero di essere stato chiaro, grazie anticipatamente a tutti
Risposte
Per $\alpha \leq 2$, il termine generale della serie non è infinitesimo, quindi non può convergere. Non serve fare grandi ragionamenti su questo, l'infinito al denominatore è di grado superiore rispetto a quello del numeratore oppure uguale per $\alpha = 2$. Se $\alpha > 2$, possiamo raccogliere in questo modo:
\[ \frac {3n^2 -1}{n^{\alpha} + 5n} = \frac { n^2 \overbrace{\left ( 3 - \frac{1}{n^2} \right )}^{{} \to 3}}{n^{\alpha} \underbrace{ \left ( 1 + \frac{5 n}{n^{\alpha}} \right )}_{{} \to 1} } \sim \frac{3}{n^{\alpha -2}}, \ n \to + \infty \]
Quindi la serie, per il criterio del confronto asintotico, converge $\iff$ converge la serie armonica di grado $\alpha -2$, cioè per $alpha -2 > 1 \implies \alpha > 3 $. Quindi, la serie converge $\iff \alpha > 3$.
\[ \frac {3n^2 -1}{n^{\alpha} + 5n} = \frac { n^2 \overbrace{\left ( 3 - \frac{1}{n^2} \right )}^{{} \to 3}}{n^{\alpha} \underbrace{ \left ( 1 + \frac{5 n}{n^{\alpha}} \right )}_{{} \to 1} } \sim \frac{3}{n^{\alpha -2}}, \ n \to + \infty \]
Quindi la serie, per il criterio del confronto asintotico, converge $\iff$ converge la serie armonica di grado $\alpha -2$, cioè per $alpha -2 > 1 \implies \alpha > 3 $. Quindi, la serie converge $\iff \alpha > 3$.
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