Soluzione analitica PDE lineare

[ralf86]

Ciao a tutti. Secondo voi c'è (a naso) qualche speranza di risolvere analiticamente il seguente broblema?
NOTA: le equazioni e le condizioni al contorno sono tutte lineari

Indico con
$x$, $y$ e $t$ le variabili indipendenti (le prime spaziali, la terza temporale)
$u$ e $v$ gli spostamenti lungo $x$ e $y$
$T$ la temperatura

$k_i (i=1,2,...,8),a,b,T_0,d,\omega$ coefficienti reali positivi.


\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = {k_1}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial x\partial y}}} \right) + {k_2}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}} \right) - {k_3}\frac{{\partial T}}{{\partial x}}\\
\\
\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {t^2}}} = {k_1}\left( {\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial y}}} \right) + {k_2}\left( {\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {y^2}}}} \right) - {k_3}\frac{{\partial T}}{{\partial y}}\\
\\
\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = {k_4}\left( {\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {y^2}}}} \right) - {k_5}\left( {\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial t}} + \frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial y\partial t}}} \right)
\end{array} \right.\]

Il dominio del problema è il rettangolo \[[0,a] \times [0,b]\]

Condizioni iniziali
\[\left\{ \begin{array}{l}
u(0) = v(0) = 0\\
\dot u(0) = \dot v(0) = 0\\
T(0) = T_0
\end{array} \right.\]

Condizioni al contorno

- lato destro
\[\left\{ \begin{gathered}
u = d\left( {1 - \frac{{2y}}{b}} \right)\sin \left( {\omega t} \right) \\
v = 0 \\
\frac{{\partial T}}{{\partial x}} = 0 \\
\end{gathered} \right.\]

- lato sinistro
\[\left\{ \begin{gathered}
u = - d\left( {1 - \frac{{2y}}{b}} \right)\sin \left( {\omega t} \right) \\
v = 0 \\
\frac{{\partial T}}{{\partial x}} = 0 \\
\end{gathered} \right.\]

- lato superiore e inferiore
\[\left\{ \begin{array}{l}
{k_6}T - {k_7}\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - {k_8}\frac{{\partial v}}{{\partial y}} = 1\\
\frac{{\partial u}}{{\partial y}} + \frac{{\partial v}}{{\partial x}} = 0\\
\frac{{\partial T}}{{\partial y}} = 0
\end{array} \right.\]

Se la cosa è fattibile sarebbe bello poter esprimere la soluzione in funzione dei coefficienti.
Se ciò risultasse troppo pesante i coefficienti valgono:
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{k_1}} \\
{{k_2}} \\
{{k_3}} \\
{{k_4}} \\
{{k_5}} \\
{{k_6}} \\
{{k_7}} \\
{{k_8}}
\end{array}} \right){\text{ = }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2.47 \cdot {{10}^7}} \\
{9.86 \cdot {{10}^6}} \\
{769.23} \\
{1.04 \cdot {{10}^{ - 5}}} \\
{469.34} \\
{3.33 \cdot {{10}^{ - 3}}} \\
{64.1} \\
{149.56}
\end{array}} \right){\text{; }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a \\
b \\
{{T_0}} \\
d \\
\omega
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0.8} \\
{0.2} \\
{300} \\
{{{10}^{ - 5}}} \\
{2\pi }
\end{array}} \right)\]

[gugo82]

"A naso", no.

[ralf86]

... come temevo. Quindi l'unica è passare al numerico (non ho abbastanza soldi per lo sperimentale che sarebbe l'ottimo )
Qualche settimana fa ho provato con la cosa più semplice che mi venisse in mente: schema iterativo esplicito, basato sulle differenze finite. Ma è stato un disastro e i numeri schizzavano a NaN facilmente.

Prima di provare con schemi più complessi, conosci software con funzioni in grado di risolvere il mio problema? PDE toolbox di Matlab?

[gugo82]

Ma hai provato a separare le variabili?
Vero che ci sono quelle derivate miste "scomode", però si potrebbe provare...

[ralf86]

Aggiungo 2 informazioni che credo possano aiutare nel calcolo della soluzione:

1 - Il problema fisico che sta a monte della PDE suggerisce che la soluzione deve avere una certa simmetria rispetto alla retta $x=a/2$; più precisamente:
- $T$ e $v$ sono pari (punti simmetrici rispetto alla retta hanno gli stessi $T$ e $v$ rispettivamente)
- $u$ è dispari (punti simmetrici rispetto alla retta hanno $u$ opposti). In particolare quindi $u$ nei punti con $x=a/2$ è nullo.
Preciso che non si tratta di vincoli aggintivi, ma di proprietà che ci si aspetta fisicamente dalla soluzione del problema e che credo possano essere dedotte dalle sole informazioni del primo post.

2 - sfruttando questa simmetria è possibile riformulare il problema su metà rettangolo, ad esempio [0,a/2]x[0,b] sostituendo le c.c. sul nuovo bordo destro con
\[\left\{ \begin{gathered}
u = 0 \\
\frac{{\partial v}}{{\partial x}} = 0 \\
\frac{{\partial T}}{{\partial x}} = 0 \\
\end{gathered} \right.\]