Soluzione analitica equazione differenziale
Buongiorno a tutti, devo risolvere un equazione differenziale nella forma:
$A \ddot{x} = B \frac{cos x}{sin^2 x + cos^2 x} - C sin x \left( 1- \frac{D}{\sqrt{cos x}} \right)$
dove $x$ e $\ddot{x}$ sono funzioni del tempo.
Esiste un metodo analitico per poterla risolvere?
Grazie
$A \ddot{x} = B \frac{cos x}{sin^2 x + cos^2 x} - C sin x \left( 1- \frac{D}{\sqrt{cos x}} \right)$
dove $x$ e $\ddot{x}$ sono funzioni del tempo.
Esiste un metodo analitico per poterla risolvere?
Grazie
Risposte
Ah, ma allora è un'attitude quella di sbagliare sezione ... 
[xdom="Palliit"]Sposto in Analisi di base.[/xdom]
Così "a naso" direi di no.
Sicuro che ti serva risolverla?
Da dove esce fuori il problema?
Sicuro che ti serva risolverla?
Da dove esce fuori il problema?
Ciao pironman,
Intanto la scriverei nella forma "semplificata" seguente:
$ A \ddot{x} = B cos x - C sin x ( 1- \frac{D}{\sqrt{cos x}}) $
che comunque non è semplice lo stesso...
Intanto la scriverei nella forma "semplificata" seguente:
$ A \ddot{x} = B cos x - C sin x ( 1- \frac{D}{\sqrt{cos x}}) $
che comunque non è semplice lo stesso...
Grazie per le risposte, e grazie per avermi spostato il messaggio nella sezione corretta.
Si tratta di un equazione che ho ricavato per studiare il moto di una sospensione di tipo cantilever
Si tratta di un equazione che ho ricavato per studiare il moto di una sospensione di tipo cantilever
È un equazione autonoma, puoi trovare facilmente x'(x) e vedere cosa succede.
Scusami per l'ignoranza, come lo trovo?
Grazie
Grazie
Scusa... Non avevo guardato bene il problema: pensavo ci fosse un $1/sqrt(cos x)$ vagante!
Da:
\[
x^{\prime \prime} (t) = b \cos x(t) - c \sin x(t) + d \frac{\sin x(t)}{\sqrt{\cos x(t)}}
\]
in cui $b,c,d$ sono opportune costanti, moltiplicando per \( x^\prime (t) \) trovi:
\[
x^{\prime \prime} (t) x^\prime (t) = b x^\prime (t) \cos x(t) - c x^\prime (t) \sin x(t) + d \frac{\sin x(t)}{\sqrt{\cos x(t)}} x^\prime (t)
\]
ed integrando:
\[
\Big( x^\prime (t)\Big)^2 = 2b \sin x(t) + 2c \cos x(t) - 4d \sqrt{\cos x(t)} + K
\]
in cui $K$ è un’opportuna costante. Poi devi faticare per esplicitare ed integrare nuovamente.
Da:
\[
x^{\prime \prime} (t) = b \cos x(t) - c \sin x(t) + d \frac{\sin x(t)}{\sqrt{\cos x(t)}}
\]
in cui $b,c,d$ sono opportune costanti, moltiplicando per \( x^\prime (t) \) trovi:
\[
x^{\prime \prime} (t) x^\prime (t) = b x^\prime (t) \cos x(t) - c x^\prime (t) \sin x(t) + d \frac{\sin x(t)}{\sqrt{\cos x(t)}} x^\prime (t)
\]
ed integrando:
\[
\Big( x^\prime (t)\Big)^2 = 2b \sin x(t) + 2c \cos x(t) - 4d \sqrt{\cos x(t)} + K
\]
in cui $K$ è un’opportuna costante. Poi devi faticare per esplicitare ed integrare nuovamente.
"gugo82":
Scusa... Non avevo guardato bene il problema: pensavo ci fosse un $1/sqrt(cos x)$ vagante!
Da:
\[
x^{\prime \prime} (t) = b \cos x(t) - c \sin x(t) + d \frac{\sin x(t)}{\sqrt{\cos x(t)}}
\]
in cui $b,c,d$ sono opportune costanti, moltiplicando per \( x^\prime (t) \) trovi:
\[
x^{\prime \prime} (t) x^\prime (t) = b x^\prime (t) \cos x(t) - c x^\prime (t) \sin x(t) + d \frac{\sin x(t)}{\sqrt{\cos x(t)}} x^\prime (t)
\]
ed integrando:
\[
\Big( x^\prime (t)\Big)^2 = 2b \sin x(t) + 2c \cos x(t) - 4d \sqrt{\cos x(t)} + K
\]
in cui $K$ è un’opportuna costante. Poi devi faticare per esplicitare ed integrare nuovamente.
Non penso che si possa integrare analiticamente la seconda volta, comunque
Vi ringrazio per le risposte.
Tra l'altro, mi sono accorto di essermi dimenticato l'influenza dello smorzatore, per cui comparirà nell'equazione anche il termine velocità.
Ricavare l'equazione non è un problema, risolverla... lo è!
Considerato che a me serve il risultato, pensavo di utilizzare il software Maxima. Qualcuno lo conosce? è in grado di effettuare questi calcoli?
Grazie
Tra l'altro, mi sono accorto di essermi dimenticato l'influenza dello smorzatore, per cui comparirà nell'equazione anche il termine velocità.
Ricavare l'equazione non è un problema, risolverla... lo è!
Considerato che a me serve il risultato, pensavo di utilizzare il software Maxima. Qualcuno lo conosce? è in grado di effettuare questi calcoli?
Grazie
Se hai le condizioni iniziali puoi risolverla numericamente con qualunque linguaggio di programmazione.
Nemmeno il software più potente può darti una soluzione analitica, se essa non esiste in forma chiusa.
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