Solite serie....converge?diverge?perchè?

[angus89]

$\sum_{k=1}^N 1/(n!)^(1/n)$

son due ore che cerco di farla convergere...ma forse non lo fà...sto impazzendo

[luifeb63]

La serie diverge. Non è verificata la condizione necessaria ( il limite è 1 ).

[angus89]

"luifeb63":La serie diverge. Non è verificata la condizione necessaria ( il limite è 1 ).

il limite di cosa?

ho capito cosa vuoi dire...forse non hai visto il fattoriale...

[angus89]

la riscrivo
$\sum_{k=1}^N 1/root(n)((n!))$

[void1]

Si può notare che $1/{n!^{1/n}} \sim e/n$ per $n \to +\infty$.

[deserto1]

Utilizziamo il Criterio del confronto.
Consideriamo il termine $n$-esimo della serie, ossia $1/(n!)^(1/n)$.
E' immediato verificare che $AA n in NN$ si ha: $1/(n!)^(1/n)>=1/(n^n)^(1/n)=1/n$.
Chiaramente la serie $sum_{n=1}^\infty 1/n$ diverge.
Pertanto diverge anche la serie proposta.

[angus89]

"void":Si può notare che $1/{n!^{1/n}} \sim e/n$ per $n \to +\infty$.

più ke osservare forse lo si dovrebbe dimostrare...forse nn mi è kiaro...
comunque la dimostrazione di deserto mi stà benissimo...
grazie mille...
eppure avrei detto convergesse...troppo simile alla serie che genera $e$

[gugo82]

"void":Si può notare che $1/{n!^{1/n}} \sim e/n$ per $n \to +\infty$.

Una versione semplificata della formula di Stirling:

$\lim_(n \to +oo) (\sqrt(n)*(n/e)^n)/(n!) = 1/\sqrt(2pi) \quad$.

[void1]

Certamente: «notare» era da intendersi «dimostrare»: $1/(n!)^(1/n) \sim 1/(n^n e^(-n) \sqrt(2\pi n))^(1/n) \sim e/n$.

[luifeb63]

Non c’è bisogno di nessun criterio di convergenza, basta controllare che non è verificata la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica cioè : lim┬(n→∞)⁡〖a_n 〗=0
lim┬(n→∞)⁡√(n&n!)=lim┬(n→∞)⁡〖e^(ln⁡(n!)^(1/n) ) 〗⁡ = lim┬(n→∞)⁡〖e^[[ln⁡(n!) ]/n] 〗
e poiché il logaritmo è un infinito di ordine inferiore ad n, l’esponente [ln⁡(n!) ]/n tende a zero, e^[0] =1 e quindi non è verificata la condizione necessaria per la convergenza.