Solido su lemniscata Bernoulli
Mi servirebbe un aiuto qui.
Un solido si sviuppa in verticale sulla lemniscata di Bernoulli.
La base per cui e' la lemniscata.
Il "tetto" del solido e' la sfera di raggio [tex]\sqrt2a[/tex], cioe' il solido si sviluppa verticalmente per una altezza di [tex]\sqrt(2a^2-r^2)[/tex]
L'integrale e' in forma polare.
[tex]\int_{-\pi /4}^{+\pi/4} \int_{0}^{\sqrt(2a^2cos2\theta))} r\sqrt(2a^2-r^2) \: dr \: d\theta[/tex]
Il mio sviluppo e':
[tex]\int_{-\pi /4}^{+\pi/4} -\left [ \right \frac{1}{3}(2a^2-r^2)^\frac{3}{2}]_{0}^{\sqrt(2a^2cos2\theta))} d\theta[/tex]
[tex]\int_{-\pi /4}^{+\pi/4} \left [- \right \frac{1}{3}(2a^2(1-cos2\theta))^\frac{3}{2}-(2a^2)^\frac{3}{2}] d\theta[/tex]
[tex]\int_{-\pi /4}^{+\pi/4} \left [ - \right \frac{1}{3}((2a^2(sen\theta)^2)^\frac{3}{2}-(2a^2)^\frac{3}{2})] d\theta[/tex]
[tex]-\frac{a^3\:2\sqrt2}{3} \int_{-\pi /4}^{+\pi/4} \left [ \right (sen\theta)^3-1] d\theta[/tex]
[tex]-\frac{a^3\:2\sqrt2}{3} \left [ \right -cos\theta+\frac{1}{3}(cos\theta)^3-\theta]_{-\pi/4}^{+\pi/4}[/tex]
Siccome i termini a coseno sono uguali per l'angolo e il suo opposto, si elidono nella valutazione dell'integrale.
Rimane
[tex]\frac{a^3\:2\sqrt2}{3} \left [ \right\theta]_{-\pi/4}^{+\pi/4}[/tex]
[tex]\frac{a^3\:2\sqrt2}{3} \left \frac{\pi}{2}[/tex]
Che NON e' il risultato giusto, perche' vale 1,480 per [tex]a = 1[/tex] per meta' lemniscata.
Per la lemniscata completa, si raddoppia semplicemente.
Io nell'integrale valuto solo meta' della lemniscata, ma non e' li il problema
Il risultato GIUSTO equivale a 2,136
IL risultato GIUSTO, in forma esatta e'
[tex]\frac{(3\pi+20-16\sqrt2)2\sqrt2a^3}{9}[/tex]
Io giuro che non riesco a capire cosa c'e' che non va, se e' un errore di calcolo o sto sbagliando il metodo.
Ho ricontrollato 20 volte i passaggi...
Ma cosa cavolo sbaglio ???
Qualcuno mi puo' aiutare ?
Un solido si sviuppa in verticale sulla lemniscata di Bernoulli.
La base per cui e' la lemniscata.
Il "tetto" del solido e' la sfera di raggio [tex]\sqrt2a[/tex], cioe' il solido si sviluppa verticalmente per una altezza di [tex]\sqrt(2a^2-r^2)[/tex]
L'integrale e' in forma polare.
[tex]\int_{-\pi /4}^{+\pi/4} \int_{0}^{\sqrt(2a^2cos2\theta))} r\sqrt(2a^2-r^2) \: dr \: d\theta[/tex]
Il mio sviluppo e':
[tex]\int_{-\pi /4}^{+\pi/4} -\left [ \right \frac{1}{3}(2a^2-r^2)^\frac{3}{2}]_{0}^{\sqrt(2a^2cos2\theta))} d\theta[/tex]
[tex]\int_{-\pi /4}^{+\pi/4} \left [- \right \frac{1}{3}(2a^2(1-cos2\theta))^\frac{3}{2}-(2a^2)^\frac{3}{2}] d\theta[/tex]
[tex]\int_{-\pi /4}^{+\pi/4} \left [ - \right \frac{1}{3}((2a^2(sen\theta)^2)^\frac{3}{2}-(2a^2)^\frac{3}{2})] d\theta[/tex]
[tex]-\frac{a^3\:2\sqrt2}{3} \int_{-\pi /4}^{+\pi/4} \left [ \right (sen\theta)^3-1] d\theta[/tex]
[tex]-\frac{a^3\:2\sqrt2}{3} \left [ \right -cos\theta+\frac{1}{3}(cos\theta)^3-\theta]_{-\pi/4}^{+\pi/4}[/tex]
Siccome i termini a coseno sono uguali per l'angolo e il suo opposto, si elidono nella valutazione dell'integrale.
Rimane
[tex]\frac{a^3\:2\sqrt2}{3} \left [ \right\theta]_{-\pi/4}^{+\pi/4}[/tex]
[tex]\frac{a^3\:2\sqrt2}{3} \left \frac{\pi}{2}[/tex]
Che NON e' il risultato giusto, perche' vale 1,480 per [tex]a = 1[/tex] per meta' lemniscata.
Per la lemniscata completa, si raddoppia semplicemente.
Io nell'integrale valuto solo meta' della lemniscata, ma non e' li il problema
Il risultato GIUSTO equivale a 2,136
IL risultato GIUSTO, in forma esatta e'
[tex]\frac{(3\pi+20-16\sqrt2)2\sqrt2a^3}{9}[/tex]
Io giuro che non riesco a capire cosa c'e' che non va, se e' un errore di calcolo o sto sbagliando il metodo.
Ho ricontrollato 20 volte i passaggi...
Ma cosa cavolo sbaglio ???
Qualcuno mi puo' aiutare ?
Risposte
Ma se non si capisce che funzione vuoi integrare e non dici almeno qual è l'equazione della lemniscata, come vuoi che ti aiutiamo?
Subito...
Equazione della lemniscata
[tex]\sqrt(2a^2cos2\theta)[/tex]
o meglio
[tex]r^2 = 2a^2cos2\theta[/tex]
Grafico
http://it.wikipedia.org/wiki/Lemniscata_di_Bernoulli
Equazione della lemniscata
[tex]\sqrt(2a^2cos2\theta)[/tex]
o meglio
[tex]r^2 = 2a^2cos2\theta[/tex]
Grafico
http://it.wikipedia.org/wiki/Lemniscata_di_Bernoulli
E scommetto che vuoi calcolare il volume del solido, a questo punto... 
"gugo82":
E scommetto che vuoi calcolare il volume del solido, a questo punto...
Si..... ma direi che sono gia' a posto.
Ho trovato l'errore....
e' un maledetto problema di valore assoluto..... #@!|*+##@@@ !!!!
A un certo punto si incontra
[tex](1-cos2\theta)^\frac{3}{2}[/tex]
lasciamo perdere un attimo il cubo e consideriamo
[tex](1-cos2\theta)^\frac{1}{2} = \sqrt(1-cos2\theta)[/tex]
Io ho semplificato con
[tex]\sqrt(1-cos2\theta) = \sqrt(2 \:\:(sen\theta)^2)[/tex]
Fin qui, ok,
So far so good....
Poi arriva il marone
[tex]\sqrt(2(sen\theta)^2) = \sqrt2\:\:sen\theta[/tex]
Che non e' corretto....
perche' la radice e' esplicitamente positiva.
Il seno quadro e' sempre positivo, facendo la radice, ne esce una cosa positiva comunque...
mentre il semplice seno restituisce valori negativi per angoli negativi, mentre quando esce dalla radice e' comunque positivo, anche per angoli negativi.
L'integrale verrebbe correttamente anche integrando da [tex]0[/tex] a [tex]\pi/4[/tex] e quindi moltiplicando il risultato per 4, siccome si e' calcolato un quarto di lemniscata.
In questo modo si evitano gli angoli negativi e la funzione seno non produce valori errati (negativi).
Quante briscole tirate..... non ci capivo piu' una mazza. !!!!!!!!!!!!!!!!!!1
(Da oggi diventa il mo avatar)
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