Solido di rotazione
Salve a tutti, ho delle difficoltà nel completare quest'esercizio.
Allora, il testo recita quanto segue:
sia un dominio D nel piano xz definito dalle limitazioni $0<=x<=1, x^2<=z<=2-x^2$ e
sia T il solido ottenuto ruotando D rispetto all'asse z in senso antiorario di 90 gradi.
Calcolarne poi il flusso uscente dalla frontiera di $T$ del campo $F(x,y,z)=(0,0,zsqrt(1+x^2+y^2)).
Ho disegnato tale dominio D nel piano xz, ed ho parametrizzato il solido T in coordinate cilindriche scrivendo:
$T={(rho, theta, z):rho in[0;1], theta in [0;pi/2], rho^2<=z<=2-rho^2}.
Per il teorema della divergenza sarà: $int_{d T} (F,N) d sigma = intintint_{T} (DIV (F) dxdydz) = intintint_{T} (sqrt(1+x^2+y^2) dxdydz).
Secondo voi, il ragionamento è esatto?
Allora, il testo recita quanto segue:
sia un dominio D nel piano xz definito dalle limitazioni $0<=x<=1, x^2<=z<=2-x^2$ e
sia T il solido ottenuto ruotando D rispetto all'asse z in senso antiorario di 90 gradi.
Calcolarne poi il flusso uscente dalla frontiera di $T$ del campo $F(x,y,z)=(0,0,zsqrt(1+x^2+y^2)).
Ho disegnato tale dominio D nel piano xz, ed ho parametrizzato il solido T in coordinate cilindriche scrivendo:
$T={(rho, theta, z):rho in[0;1], theta in [0;pi/2], rho^2<=z<=2-rho^2}.
Per il teorema della divergenza sarà: $int_{d T} (F,N) d sigma = intintint_{T} (DIV (F) dxdydz) = intintint_{T} (sqrt(1+x^2+y^2) dxdydz).
Secondo voi, il ragionamento è esatto?
Risposte
non mi è chiara una cosa: tu vuoi calcolare solo il flusso o anche, separatamente, l'area della superficie del solido di rotazione?
"enr87":
non mi è chiara una cosa: tu vuoi calcolare solo il flusso o anche, separatamente, l'area della superficie del solido di rotazione?
no, solo il flusso.
praticamente a partire dal dominio D ti "costruisci" la superficie T sulla cui frontiera applicare il teorema della divergenza
bhè puoi usare sia la divergenza sia il calcolo diretto con la definizione, a te la scelta. mi pare che ci sia un errore nella limitazione di $theta$: perchè non fino a $2pi$?
"enr87":
bhè puoi usare sia la divergenza sia il calcolo diretto con la definizione, a te la scelta. mi pare che ci sia un errore nella limitazione di $theta$: perchè non fino a $2pi$?
beh, per il fatto di $theta$ ho messo $pi/2$ invece di $2pi$ perchè nella traccia dice che l'angolo che si viene a formare è di 90° (nel testo, a dire la verità, parla di "solito ottenuto facendo ruotare di un angolo retto il dominio D in senso antiorario" e quindi ho messo $pi/2$
ah ok, non avevo letto scusa. allora mi pare sia corretto
non ti preoccupare 
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