Solido di rotazione

[ScissorHand1]

Si calcoli il volume del solido che si ottiene facendo ruotare attorno all’asse delle y il seguente sottoinsieme del primo quadrante: $ {(x,y): xy>1}nn {(x,y):x^2+y^2<(4sqrt3)/3} $

Premettendo che più o meno ho capito come è fatto il dominio (intersezione fra un arco di iperbole e una circonferenza di raggio $ 2/sqrt(sqrt(3) $
io avevo pensato di passare a coordinate polari, con $ 4/sqrt(3)sinthetacostheta-1<=rho <= 2/sqrt(sqrt(3)) $ e theta che varierebbe chissà dove.... ma lo vedo fin troppo elaborato come procedimento, ammesso che sia giusto.

[poll89]

guarda, questo è un tipico problema da analisi 2 o 3 e ti dico che esiste questa bellissima formula per risolverlo:

VOLUME DEL SOLIDO GENERATO DALLA ROTAZIONE DEL GRAFICO DELLA FUNZIONE f(x) ATTORNO ALL'ASSE y

$V=2 \pi \int_{a}^{b} xf(x) dx$

dove a e b sono rispettivamente il min ed il max valore di y.

esiste anche una formula analoga per le rotazioni attorno all'asse x:

$V=\pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx$

[ScissorHand1]

Il problema non è tanto il calcolo del volume del solido di rotazione quanto l'esplicitazione del dominio stesso. E correggimi se sbaglio... ma l'integrale che hai scritto, per il teorema di Guldino, non è un integrale doppio in dxdy?

[ciampax]

@ScissorHand: poll89 ti ha fornito una formula molto semplice, utile quando devi calcolare il volume di un solido di rotazione ottenuto dalla rotazione di una curva $y=f(x)$, con $x\in[a,b]$, attorno all'asse delle x o attorno a quello delle y. Tale formula prevede il calcolo di un integrale in una variabile e non in due. Per applicarla nel tuo caso, ti serve determinare una funzione del tipo $y=f(x)$ che rappresenti le curve che forniscono il "profilo" del tuo solido, quando vengono fatte ruotare. Osserva che in generale potresti dover determinare più di una tale curva.

[ScissorHand1]

Quello che non mi torna di questa formula è che mi sembra applicabile nel caso voglia calcolare la rotazione di una curva, o quantomeno del grafico di una funzione. Ma nel mio caso ho un dominio che non posso esprimere come grafico rispetto a nessuna delle due variabili: cosa sostituire ad f(x)?
Ammettendo che io divida il dominio nelle due curve $ f(x)=1/x $ e $ f(x)= sqrt(4sqrt(3)/3-x^2 $ e sommassi i due risultati applicando quella formula, concettualmente il mio risultato non sarebbe la superficie invece che il volume?

EDIT: Rileggendo quanto scritto da Pollo89 la cosa mi sembra un po' più chiara. Quindi l'integrale sarebbe:
$ int_(y_1)^(y_2) x[f(b)-f(a)] dx $
dove y_1 e y_2 sono rispettivamente il valore minimo e massimo che assume la y, mentre f(b) nel mio caso è la semicirconferenza $ f(x)= sqrt(4sqrt(3)/3-x^2 $ e f(a) l'arco di iperbole $ f(x)=1/x $
è giusto?

[ciampax]

No scissor, stai facendo confusione. Le formule che ti ha scritto polla servono proprio a calcolare il volume del solido di rotazione. Quello che tu devi fare è trovare tutte le curve che delimitano il tuo dominio e da lì ragionare su come poter calcolare il volume totale. Fai attenzione perché potrebbe darsi che alcuni volumi non vadano sommati, ma sottratti. Ti consiglio di fare un buon disegno del dominio e ragionarci su.

[poll89]

ciao, scusate la mia assenza ma ero impegnato con un esame.

allora, come ti ha detto Scissor, fai il disegno. Aiuta davvero molto vedere che forma abbia il dominio da ruotare.
Una volta fatto il disegno ti accorgi infatti che l'insieme è simmetrico rispetto ad entrambi gli assi, e questo è davvero molto comodo in questo tipo di esercizi.

Detto questo, osservo solo il quadrante $x>0, y>0$: l'insieme che devi ruotare è un "pezzo di circonferenza, delimitata dall'iperbole e dall'arco di circonferenza, quindi è limitato dalle rette $y=0$ e $y=2/root(4)(3)$, pertanto questi saranno i tuoi estremi di integrazione.
Penultimo passaggio: Calcolo il volume di due solidi: quello che ottengo ruotando solo l'iperbole, che chiamo $S_I$, e quello che ottengo ruotando solo la circonferenza, che chiamo $S_C$. è ovvio che il solido che cerchi sarà $S_C - S_I$.
Ultimo passaggio: così facendo hai ruotato solo il pezzo dell'insieme nel primo quadrante: ma ruotando il pezzo nel quarto quadrante otterrai lo stesso risultato, perchè circonferenza ed iperbole sono simmetriche rispetto ad entrambi gli assi, quindi ti basta moltiplicare per 2 il risultato del passaggio precedente ed ottieni il risultato finale.