Solidi di rotazione , aiuto impostazione esercizio

[HelpThermoo]

Allora mi sono studiato la teoria relativa a questa parte , le formule le ho imparate , anche se non ne ho capito minimamente il significato , nel particolare faccio fatica ad impostare esercizi del tipo :


Sia S la regione di piano compresa tra il grafico della funzione $ x=e^y $
ed $ x=log(y+1) $
per $ yin[0,2] $

Calcolare il volume del solito ottenuto dalla rotazione di S attorno all'asse y .

Ora io non so proprio come procedere , spero possiate illuminarmi...

perché
a quanto ho capito per un esercizio del genere dovrei riuscire ad esprimere in forma cartesiana del tipo :

$ S = [(x,y,z)inR^3:a^2<=x^2+z^2<=b^2 ;0<=y<=f(x)] $ (1)

e poi calcolare il volume con la formula :
$ V(S)= 2piint_(a)^(b) xf(x) dx $



Dove a e b dovrebbero essere gli estremi dell'intervallo di definizione della funzione f(x)
che è quella che ruota intorno all'asse giusto?
il fatto è che qua di funzione ne ho 2 definite per $ yin[0,2] $
ed essendo entrambe funzioni crescenti dovrei essere in grado di stabilire in quale intervallo varia la x .
Però non so come...
e in ogni caso se poteste spiegarmi bene la (1) a livello teorico ve ne sarei grato .
(non chiedo assolutamente la risoluzione dell'esercizio , solo l'impostazione , altrimenti non vado avanti )

[HelpThermoo]

Dunque posto un tentativo di risoluzione , spero possiate dargli una guardata ...




Le due funzioni sarebbero queste ...guardandole ho pensato che il volume della regione compresa fra le due , per
$ yin[0,2] $
si possa ricavare calcolando il volume del solido ottenuto facendo ruotare la funzione $ e^y $ intorno all'asse y , al quale va sottratto quello del solido ottenuto facendo ruotare $ log(y+1) $ intorno all'asse y .

Quindi se R è la regione in questione R(1) sarà l'area sotto alla funzione logaritmica (quella più in basso) ;


$ V(R) = V(R2) - V(R1) $

Con $ R2 = R + R1 $

Quindi per il primo volume ho usato la formula : $ V(R2) = piint_(0)^(2) (e^y)^2 dy =1/2pi(e^4-1) $

per il secondo :

$ V(R1) = piint_(0)^(2) log^2(y+1) dy = pi[3log^2(3) -6log3 +4] $


Ottengo come differenza :

$ V(R2)-V(R1) = pi[e^4/2 -9/2 -3log^2(3) +6log3] $

per scrupolo ho controllato che tale volume fosse maggiore di 0 , e lo è .
Però non sono convintissimo .

[ciampax]

In generale, se hai due funzioni $y=f(x),\ y=g(x)$ con $x\in[a,b]$, $f(x)\le g(x)$ per ogni $x\in[a,b]$, e vuoi determinare il volume del solido di rotazione generato dalla rotazione delle due curve attorno all'asse $x$ (e quindi il volume del solido di rotazione la cui superficie di sezione è delimitata dalle due curve), devi calcolare
$$V=\pi\int_a^b[g(x)^2-f(x)^2]\ dx$$
Quindi mi sembra tu abbia proceduto correttamente.
Se invece la rotazione avviene attorno all'altro asse, il procedimento è diverso: supponendo di avere una sola curva, $y=f(x)$ e indicando con $F$ la sua inversa, cioè $x=F(y)$ e $F(f(x))=x$, in modo che $a=F(\alpha),\ b=F(\beta)$ e $F'>0$ (in modo che l'intervallo $[a,b]$ corrisponda a $[alpha,\beta]$) si ha
$$V=\pi\int_\alpha^\beta F(y)^2\ dy=$$
ricordando che $y=f(x)$ e che $dy=f'(x)\ dx$
$$=\pi\int_a^b x^2 f'(x)\ dx$$
Puoi anche provare a vedere cosa accade se hai due funzioni.

[HelpThermoo]

esatto io ho usato proprio queste formule ...puoi controllare i conti di sopra? tanto per sapere se mi ci sono avvicinato xD

Edit :
comunque io ho ragionato sulla rotazione rispetto all'asse y , non all'asse x .
solo che ho usato le inverse..

[ciampax]

Sì, intendevo che anche i calcoli sono corretti.

[HelpThermoo]

grazie mille ... sei un grandeee ,sempre disponibile e sempre a rispondere . xD

Tra un po' posto un altro tentativo di risoluzione di un esercizio simile , così chiudo questa parte .