Sistemi lineari di equazioni differenziali
ho un problema con il seguente sistema di equazioni differenziali
${(y_1^{\prime}=y_1+2y_2+2),(y_2^{\prime}=3y_1+y_2+x):}$
per risolvere scrivo la matrice dei coefficienti $([1,2],[3,1])$, calcolo gli autovalori trovandomi prima il polinomio caratteristico.ho $lambda_1=1+sqrt6$, $lambda_2=1-sqrt6$ e a questo punto devo calcolare gli autovettori relativi a $lambda_1$ e $lambda_2$.
allora calcolo l'autovettore relativo a $lambda_1$:
$([-sqrt6,2],[3,-sqrt6])*((a),(b))=((0),(0))$ e ottengo così il sistema ${(-sqrt6a+2b=0),(3a-sqrt6b=0):}$. a questo punto ho difficoltà a trovare l'autovettore. non riesco a risolvere il sistema!
${(y_1^{\prime}=y_1+2y_2+2),(y_2^{\prime}=3y_1+y_2+x):}$
per risolvere scrivo la matrice dei coefficienti $([1,2],[3,1])$, calcolo gli autovalori trovandomi prima il polinomio caratteristico.ho $lambda_1=1+sqrt6$, $lambda_2=1-sqrt6$ e a questo punto devo calcolare gli autovettori relativi a $lambda_1$ e $lambda_2$.
allora calcolo l'autovettore relativo a $lambda_1$:
$([-sqrt6,2],[3,-sqrt6])*((a),(b))=((0),(0))$ e ottengo così il sistema ${(-sqrt6a+2b=0),(3a-sqrt6b=0):}$. a questo punto ho difficoltà a trovare l'autovettore. non riesco a risolvere il sistema!
Risposte
Ovviamente quel sistema lineare non ha unica soluzione, perchè le due equazioni sono dipendenti (basta moltiplicare la prima equazione per [tex]$-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$[/tex] per ottenere la seconda); quindi non ha senso dire "trovare l'autovettore" con l'articolo determinativo: gli autovettori sono tanti e costituiscono un sottospazio vettoriale di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] di dimensione [tex]$1$[/tex].
Per trovare gli autovettori, basta considerare solo una delle equazioni e risolvere rispetto ad una delle due incognite tenendo l'altra come parametro: ad esempio considerando solo la prima ricaviamo:
[tex]$b=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\ a$[/tex]
sicché gli autovettori relativi a [tex]$\lambda_1$[/tex] sono tutti i vettori del tipo [tex]$\left( a,\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\ a \right)$[/tex], al variare di [tex]$a\in \mathbb{R}$[/tex].
Visto che a te ne serve un solo autovettore relativo a [tex]$\lambda_1$[/tex] per scrivere l'integrale generale del sistema, puoi scegliertelo fissando il valore del parametro [tex]$a$[/tex] come meglio credi: io fisserei [tex]$a=\sqrt{2}$[/tex], scegliendo quindi l'autovettore [tex]$(\sqrt{2} ,\sqrt{3})$[/tex], per non portarmi dietro scomodi denominatori... Ma è questione di gusti.
Per trovare gli autovettori, basta considerare solo una delle equazioni e risolvere rispetto ad una delle due incognite tenendo l'altra come parametro: ad esempio considerando solo la prima ricaviamo:
[tex]$b=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\ a$[/tex]
sicché gli autovettori relativi a [tex]$\lambda_1$[/tex] sono tutti i vettori del tipo [tex]$\left( a,\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\ a \right)$[/tex], al variare di [tex]$a\in \mathbb{R}$[/tex].
Visto che a te ne serve un solo autovettore relativo a [tex]$\lambda_1$[/tex] per scrivere l'integrale generale del sistema, puoi scegliertelo fissando il valore del parametro [tex]$a$[/tex] come meglio credi: io fisserei [tex]$a=\sqrt{2}$[/tex], scegliendo quindi l'autovettore [tex]$(\sqrt{2} ,\sqrt{3})$[/tex], per non portarmi dietro scomodi denominatori... Ma è questione di gusti.
"gugo82":
Ovviamente quel sistema lineare non ha unica soluzione, perchè le due equazioni sono dipendenti (basta moltiplicare la prima equazione per [tex]$-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$[/tex] per ottenere la seconda); quindi non ha senso dire "trovare l'autovettore" con l'articolo determinativo: gli autovettori sono tanti e costituiscono un sottospazio vettoriale di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] di dimensione [tex]$1$[/tex].
Per trovare gli autovettori, basta considerare solo una delle equazioni e risolvere rispetto ad una delle due incognite tenendo l'altra come parametro: ad esempio considerando solo la prima ricaviamo:
[tex]$b=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\ a$[/tex]
sicché gli autovettori relativi a [tex]$\lambda_1$[/tex] sono tutti i vettori del tipo [tex]$\left( a,\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\ a \right)$[/tex], al variare di [tex]$a\in \mathbb{R}$[/tex].
Visto che a te ne serve un solo autovettore relativo a [tex]$\lambda_1$[/tex] per scrivere l'integrale generale del sistema, puoi scegliertelo fissando il valore del parametro [tex]$a$[/tex] come meglio credi: io fisserei [tex]$a=\sqrt{2}$[/tex], scegliendo quindi l'autovettore [tex]$(\sqrt{2} ,\sqrt{3})$[/tex], per non portarmi dietro scomodi denominatori... Ma è questione di gusti.
chiaro.infatti non riuscivo ad ottenere nulla dal sistema.grazie gugo
Ho un altro problemino.
dato il seguente sistema di equazione
${(y_1^{\prime}=2y_1-4y_2+1),(y_2^{\prime}=y_1+2y_2+cosx):}$
ottengo anziché autovalori reali, autovalori complessi che mi creano un pò di dubbi. Calcolo gli autovalori ed ottengo un autovalore complesso con il suo coniugato $lambda=2+i2$.calcolo un autovettore associato a $lambda$ e mi trovo $((2i),(1))$. A questo punto scrivo $((2i),(1))e^(2x)e^(2ix)$.Arrivato a qui non riesco scrivere l'integrale generale nella forma del seno e coseno.
dato il seguente sistema di equazione
${(y_1^{\prime}=2y_1-4y_2+1),(y_2^{\prime}=y_1+2y_2+cosx):}$
ottengo anziché autovalori reali, autovalori complessi che mi creano un pò di dubbi. Calcolo gli autovalori ed ottengo un autovalore complesso con il suo coniugato $lambda=2+i2$.calcolo un autovettore associato a $lambda$ e mi trovo $((2i),(1))$. A questo punto scrivo $((2i),(1))e^(2x)e^(2ix)$.Arrivato a qui non riesco scrivere l'integrale generale nella forma del seno e coseno.
Sono riuscito ad andare avanti sfruttando la formula di eulero scrivendo così $((2i),(1))e^(2x)e^(2ix)=((2i),(1))e^(2x)(cos2x+isen2x)$
così ho moltiplicato ottenendo: $((2i),(1))e^(2x)e^(2ix)=((2i),(1))e^(2x)(cos2x+isen2x)=((2ie^(2x)cos2x-2e^(2x)sen2x),(e^(2x)cos(2x)+e^(2x)isen2x))$
spero che sia giusto.magari un parere più esperto mi farebbe chiudere occhio la notte!
spero che sia giusto.magari un parere più esperto mi farebbe chiudere occhio la notte!
"mazzy89":
Ho un altro problemino.
dato il seguente sistema di equazione
${(y_1^{\prime}=2y_1-4y_2+1),(y_2^{\prime}=y_1+2y_2+cosx):}$
ottengo anziché autovalori reali, autovalori complessi che mi creano un pò di dubbi. Calcolo gli autovalori ed ottengo un autovalore complesso con il suo coniugato $lambda=2+i2$.calcolo un autovettore associato a $lambda$ e mi trovo $((2i),(1))$. A questo punto scrivo $((2i),(1))e^(2x)e^(2ix)$.Arrivato a qui non riesco scrivere l'integrale generale nella forma del seno e coseno.
Che mi consigliate per trovare le soluzioni particolari: lagrange oppure derivo e sostituisco?
Ho notato che qualsiasi metodo scelga devo sempre derivare l'integrale generale.
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