[Sistemi Dinamici] Invarianza di un insieme
Buon pomeriggio, studiando sistemi dinamici mi sono imbattuto nel seguente problema. Spero che la sezione sia giusta (ero indeciso tra qui e Fisica Matematica) 
Ho proceduto così:
1.
Innanzitutto le due funzione sono almeno $C^1$ su tutto $RR^2$, e l'unico equilibrio risulta essere l'origine.
Per il teorema di Hartman-Grobman, un punto di equilibrio è iperbolico se $Re(\lambda) != 0$, dove $\lambda$ sono gli autovalori della matrice jacobiana calcolata nell'origine.
Gli autovalori risultano essere complessi coniugati con parte reale strettamente positiva, e dunque l'origine è un equilibrio iperbolico.
3. Per dimostrare l'esistenza di un'orbita periodica ho cercato di trovare due circonferenze, nelle quali in una il campo "punta fuori", nell'altra il campo "punta in dentro" e in quella specie di corona circolare deve starci un'orbita periodica. E poi ho usato il criterio di Bendixon, cioè:
Ho la relazione $x(t)^2 + y(t)^2=r(t)^2$ da cui $rdot(r)=xdot(x)+ydot(y)=x^2+xy-x^4-xy=x^2(1-x^2)$.
Per cui ho che:
$dot(r)<0$ se $|x|>1$
$dot(r)>0$ se $|x|<1$
E ciò prova quanto cercavo.
Inoltre per il criterio di Bendixon, se la divergenza assume segno costante in un aperto, allora lì non ci posso essere orbite periodiche: $ d i v(F)=1-3x^2$. Solo per $x=\sqrt(3)/3$ è possibile che passi un'orbita periodica, mentre per $x$ maggiori o minori di questa non sono ammesse.
2. Per mostrare l'invarianza dell'insieme definito dal poligono non so come procedere.
Mi spiego: io so che un insieme è positivamente invariante se vale la condizione, con $\nu$ versore normale e $X(x)$ campo vettoriale: e $<,>$ prodotto scalare canonico: $<\nu(\mathcal(x)), X(\mathcal(x))> \leq 0$, cioè il campo punta all'interno dell'insieme. Il punto è che non c'è un modo per descrivere analiticamente quel poligono in modo semplice e che non prevede contazzi... anche se a dire il vero è interamente contenuto nel quadrato di lato $A$... ma ugualmente non so come procedere.
Grazie a tutti per l'attenzione
Sia dato il seguente sistema differenziale nel piano
$ { ( dot(x)=x+y-x^3 ),( dot(y)=-x ):} $
1. Determinare i punti di equilibrio e dire se sono iperbolici.
2. Dimostrare che esiste $A>0$ tale che il poligono di vertici $P_1(0,A),P_2(A,A),P_3(A,0),P_4(0,-A),P_5(-A,-A),P_6(-A,0)$ è un insieme invariante.
3. Verificare che esiste almeno un'orbita periodica.
Ho proceduto così:
1.
Innanzitutto le due funzione sono almeno $C^1$ su tutto $RR^2$, e l'unico equilibrio risulta essere l'origine.
Per il teorema di Hartman-Grobman, un punto di equilibrio è iperbolico se $Re(\lambda) != 0$, dove $\lambda$ sono gli autovalori della matrice jacobiana calcolata nell'origine.
Gli autovalori risultano essere complessi coniugati con parte reale strettamente positiva, e dunque l'origine è un equilibrio iperbolico.
3. Per dimostrare l'esistenza di un'orbita periodica ho cercato di trovare due circonferenze, nelle quali in una il campo "punta fuori", nell'altra il campo "punta in dentro" e in quella specie di corona circolare deve starci un'orbita periodica. E poi ho usato il criterio di Bendixon, cioè:
Ho la relazione $x(t)^2 + y(t)^2=r(t)^2$ da cui $rdot(r)=xdot(x)+ydot(y)=x^2+xy-x^4-xy=x^2(1-x^2)$.
Per cui ho che:
$dot(r)<0$ se $|x|>1$
$dot(r)>0$ se $|x|<1$
E ciò prova quanto cercavo.
Inoltre per il criterio di Bendixon, se la divergenza assume segno costante in un aperto, allora lì non ci posso essere orbite periodiche: $ d i v(F)=1-3x^2$. Solo per $x=\sqrt(3)/3$ è possibile che passi un'orbita periodica, mentre per $x$ maggiori o minori di questa non sono ammesse.
2. Per mostrare l'invarianza dell'insieme definito dal poligono non so come procedere.
Mi spiego: io so che un insieme è positivamente invariante se vale la condizione, con $\nu$ versore normale e $X(x)$ campo vettoriale: e $<,>$ prodotto scalare canonico: $<\nu(\mathcal(x)), X(\mathcal(x))> \leq 0$, cioè il campo punta all'interno dell'insieme. Il punto è che non c'è un modo per descrivere analiticamente quel poligono in modo semplice e che non prevede contazzi... anche se a dire il vero è interamente contenuto nel quadrato di lato $A$... ma ugualmente non so come procedere.
Grazie a tutti per l'attenzione
Risposte
"feddy":
Il punto è che non c'è un modo per descrivere analiticamente quel poligono in modo semplice ...
Almeno 2 dei 6 lati, quelli orizzontali, mi sembrano banali.
"feddy":
... anche se a dire il vero è interamente contenuto nel quadrato di lato $A$ ...
Probabilmente intendevi scrivere $2A$.
Sì ovviamente mi sono sbagliato 
Quindi potrei scrivere l'equazione per ciascun lato (mal che vada tanto sono rette che posso trovare subito) e verificare che in ogni lato si ha $\langle \nu ,X(\mathcal(x)) \rangle \leq 0$ ?
Per il punto 2. invece secondo te ho svolto tutto correttamente?
Quindi potrei scrivere l'equazione per ciascun lato (mal che vada tanto sono rette che posso trovare subito) e verificare che in ogni lato si ha $\langle \nu ,X(\mathcal(x)) \rangle \leq 0$ ?
Per il punto 2. invece secondo te ho svolto tutto correttamente?
"feddy":
Quindi potrei scrivere l'equazione per ciascun lato ...
Certamente. Tuttavia, si deve determinare almeno un valore di $A$ per cui la condizione del tuo messaggio di apertura sia ovunque soddisfatta. Insomma, bisogna procedere con attenzione.
"feddy":
Per il punto 2. invece secondo te ho svolto tutto correttamente?
Premesso che non conoscevo il criterio di Bendixon, a mio parere le tue argomentazioni dimostrano che, se orbita periodica esiste, essa deve intersecare almeno una delle due rette $[x=+-sqrt3/3]$. Non mi pare sufficiente per poter concludere positivamente.
Ok, potrei procedere così:
-per il calcolo della normale devo semplicemente trovare l'equazione della retta perpendicolare a ciascun "lato".
-impongo la condizione per ogni lato e in teoria dovrei trovare un valore o un intervallo di valori di $A$.
Potrebbe funzionare? Oppure si tratta di avere "occhio" e andare a tentativi? (non credo però..)
Per quanto riguarda 2.:
Ho utilizzato il criterio di Bendixon come "conferma" del fatto che tra quelle due circonferenze deve esserci un'orbita periodica.
Noi abbiamo sempre fatto così...tu come avresti fatto?
-per il calcolo della normale devo semplicemente trovare l'equazione della retta perpendicolare a ciascun "lato".
-impongo la condizione per ogni lato e in teoria dovrei trovare un valore o un intervallo di valori di $A$.
Potrebbe funzionare? Oppure si tratta di avere "occhio" e andare a tentativi? (non credo però..)
Per quanto riguarda 2.:
Ho utilizzato il criterio di Bendixon come "conferma" del fatto che tra quelle due circonferenze deve esserci un'orbita periodica.
Noi abbiamo sempre fatto così...tu come avresti fatto?
Francamente, non so se, per dimostrare l'esistenza di un'orbita periodica, sia sufficiente determinare due circonferenze etcetera etcetera. Magari è banale e mi sto perdendo qualcosa. Anzi, se riesci ad argomentarlo anche solo a parole mi rinfrescherebbe la memoria. Per quanto riguarda il poligono, ti faccio sapere. Più o meno, procederei come hai scritto.
Durante il corso è una tecnica che abbiamo usato più volte... è una conseguenza di Poincarè-Bendixon, per cui se un insieme è positivamente invariante e contiene un numero finito di punti di equilibrio (instabili), allora esiste un'orbita periodica. E' questo il motivo per cui cerco due circonferenze che abbiano quella proèrietà. Poi con il criterio prima citato ho diciamo una conferma (anche se spesso serve per dimostrare l'unicità dell'orbita)
"feddy":
... è una conseguenza di Poincarè-Bendixon ...
Casco dalle nuvole. Non l'avrei mai detto. Ad ogni modo, buono a sapersi.
Forse avrei dovuto specificarlo meglio, scusami
Per quanto riguarda il poligono in questi giorni proverò e ti farò sapere. Grazie mille per l'hint comunque
Per quanto riguarda il poligono in questi giorni proverò e ti farò sapere. Grazie mille per l'hint comunque
Ok.
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