Sistemi di ode del secondo ordine

[mascalzone87]

Ragazzi volevo chiederdvi se è possibile determinare la soluzione in forma chiusa per un sistema di due ODE complete del secondo ordine del tipo:

\[\left\{ \begin{matrix}
a{{{\ddot{y}}}_{1}}(t)+b{{{\dot{y}}}_{1}}(t)+c{{{\dot{y}}}_{2}}(t)+d{{y}_{1}}(t)+e{{y}_{2}}(t)=-az(t) \\
f{{{\ddot{y}}}_{2}}(t)+g{{{\dot{y}}}_{1}}(t)+h{{{\dot{y}}}_{2}}(t)+i{{y}_{1}}(t)+l{{y}_{2}}(t)=-fz(t) \\
\end{matrix} \right.\]
Dove $a,b,c,d,e,f,g,h,i,l$ sono costanti note così come è nota la funzione $z(t)$.

Potreste, per favore, mostrarmi un approccio teorico oppure indicarmi un adeguato riferimento bibliografico?

Io nei corsi di analisi mi sono fermato alle singole ode senza affrontare nessun tipo di sistema differenziale

Grazie.

Cordiali saluti.

[mascalzone87]

Nessuno mi riesce ad aiutare?

Ho provato a vedere qualcosa in rete...ma non ho trovato niente di inerente.

Grazie a chi potrà/vorrà aiutarmi!

Cordiali saluti.

[gugo82]

Beh, metti \(\dot{y}_1=y_3,\ \dot{y}_2= y_4\) e risolvere un sistema del primo ordine a coefficienti costanti, i.e.:
\[
\begin{cases}
\dot{y}_1 =y_3\\
\dot{y}_2 =y_4\\
a\ \dot{y}_3 = -d\ y_1-e\ y_2-b\ y_3 -c\ y_4-a\ z\\
f\ \dot{y}_4 = -i\ y_1-l\ y_2-g\ y_3 -h\ y_4 -f\ z
\end{cases}
\]
che è lineare e perciò si risolve con tecniche standard.

[mascalzone87]

Grazie mille per il suggerimento