Sistemi di equazioni differenziali e nucleo matrice con autovalori

[canesciolt0]

Innanzitutto scusate il titolo complicato ma non saprei davvero come scriverlo meglio.

Ho un dubbio di natura più teorica che operativa:
dalle dispense del mio professore ho trovato che dato un sistema di equazioni differenziali lineari omogeneo a coefficienti costanti, del tipo:
$ { ( vecx'=Avecx ),( vecx(0)=vecv ):} $

supponendo di conoscere un autovettore $ lambda $ di $ A $ e considerando $ vecvin Ker(A-lambdaI) $ allora la funzione
$ phi(t)=e^(tA)vecv $ risolve il sistema.

c'è una dimostrazione che prova che se $ vecvin Ker(A-lambdaI) $ allora $ e^(tA)vecv=e^(lambdat)vecv $ e quindi $ e^(lambdat)vecv $ risolve $ vecx'=Avecx $.

Quello che non capisco è: perché dev'essere $ vecvin Ker(A-lambdaI) $ ???

mi sfugge forse il significato del nucleo di $ (A- lambdaI) $ ?

se qualcuno mi può spiegare gliene sarò grato

[canesciolt0]

RIsolto (credo): non ricordavo che $ vecvin Ker(A-lambdaI) $ significasse che $ vecv $ è autovettore di autovalore $ lambda $ per $ A $.
Quindi dato che $ Avecv = lambdavecv $ allora $ e^(tA)vecv = e^(lambdat)vecv $, giusto?

[dissonance]

Giusto