Sistemi di equazioni differenziali
dato il sistema :
y1'=y2 ed y2'=-y1
che verifica le condizioni iniziali: y1(0)=0 ed y2(0)=1
Io ho fatto in questo modo:
prima trovo l'equazione caratteristica e dopo effettuo il sistema per trovare gli autovettori
l'equazione caratteristica è: (T-i)(T+i)
i miei dubbi sono 2:
1)
la condizione iniziale và sostituita nel polinomio caratteristico?
2)
nel sistema gli autovettori mi vengono (0,0) sostituendo al posto di T=i e poi T=-i
il risultato viene y1(x)=senx,y2(x)=cosx
y1'=y2 ed y2'=-y1
che verifica le condizioni iniziali: y1(0)=0 ed y2(0)=1
Io ho fatto in questo modo:
prima trovo l'equazione caratteristica e dopo effettuo il sistema per trovare gli autovettori
l'equazione caratteristica è: (T-i)(T+i)
i miei dubbi sono 2:
1)
la condizione iniziale và sostituita nel polinomio caratteristico?
2)
nel sistema gli autovettori mi vengono (0,0) sostituendo al posto di T=i e poi T=-i
il risultato viene y1(x)=senx,y2(x)=cosx
Risposte
Certo che le soluzioni sono seno e coseno... 
Non potrebbe essere altrimenti, perchè questo problema di Cauchy si può addirittura prendere per definire quelle due funzioni (e.g., Giusti, Analisi Matematica II, Boringhieri).
Non potrebbe essere altrimenti, perchè questo problema di Cauchy si può addirittura prendere per definire quelle due funzioni (e.g., Giusti, Analisi Matematica II, Boringhieri).
le condizioni iniziali a quanto sò vanno sostituite alla fine,giusto?
Quindi il risultato cambia
Quindi il risultato cambia
Il polinomio caratteristico non contiene né la variabile \(x\) né le incognite \(y_1,y_2\)... Quindi è praticamente impossibile sostituire le condizioni iniziali lì dentro.
Consideriamo un problema di Cauchy lineare del primo ordine del tipo:
\[
\begin{cases} y_1^\prime (x) =ay_1(x) +by_2(x)\\
y_2^\prime (x) =cy_1(x) +dy_2(x)\\
y_1(x^0)=y_1^0\\
y_2(x^0)=y_2^0\; ,
\end{cases}
\]
con \(a,b,c,d\) costanti.
L'equazione caratteristica \((a-T)(d-T)-bc=0\), in soldoni, ti serve a determinare esplicitamente due soluzioni linearmente indipendenti del sistema e, quindi, a scrivere l'integrale generale del tuo sistema di EDO.
Tale integrale generale è una coppia di funzioni \(y_1(x;C_1,C_2),\ y_2(x;C_1,C_2)\) che dipendono da due parametri \(C_1,C_2\) (oltre che dalla variabile \(x\)).
Le condizioni iniziali, invece, ti servono a recuperare la soluzione del problema di Cauchy dall'integrale generale del sistema di EDO.
Per fare ciò, basta determinare tutti e soli i valori dei parametri \(C_1,C_2\) tali che le due funzioni \(y_1(x;C_1,C_2),\ y_2(x;C_1,C_2)\) soddisfino le condizioni iniziali \(y_1(x^0)=y_1^0,\ y_2(x^0)=y_2^0\). Ciò si fa brutalmente, sostituendo \(x^0\) al posto di \(x\) nell'integrale generale e cercando di risolvere il sistema di due equazioni:
\[
\begin{cases}
y_1(x^0; C_1,C_2)=y_1^0\\
y_2(x^0; C_1,C_2)=y_2^0
\end{cases}
\]
rispetto ai due parametri \(C_1,C_2\).
Nel tuo caso, hai*:
\[
\begin{cases}
y_1(x;C_1,C_2) = C_1 \cos x +C_2 \sin x\\
y_2(x;C_1,C_2) = -C_1 \sin x +C_2 \cos x
\end{cases}
\]
e, dato che le condizioni iniziali sono \(y_1(0)=0,\ y_2(0)=1\), il sistema da risolvere per trovare la soluzione è:
\[
\begin{cases}
C_1 \cos 0 +C_2 \sin 0=0\\
-C_1 \sin 0 +C_2 \cos 0=1
\end{cases} \qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{cases}
C_1 =0\\
C_2 =1
\end{cases}
\]
e, ovviamente, la soluzione è:
\[
y_1(x)=\sin x,\ y_2(x)=\cos x; .
\]
__________
* Lo stesso ragionamento vale se scrivi l'integrale generale come somma di esponenziali complessi: cambiano solo i conti da fare.
Consideriamo un problema di Cauchy lineare del primo ordine del tipo:
\[
\begin{cases} y_1^\prime (x) =ay_1(x) +by_2(x)\\
y_2^\prime (x) =cy_1(x) +dy_2(x)\\
y_1(x^0)=y_1^0\\
y_2(x^0)=y_2^0\; ,
\end{cases}
\]
con \(a,b,c,d\) costanti.
L'equazione caratteristica \((a-T)(d-T)-bc=0\), in soldoni, ti serve a determinare esplicitamente due soluzioni linearmente indipendenti del sistema e, quindi, a scrivere l'integrale generale del tuo sistema di EDO.
Tale integrale generale è una coppia di funzioni \(y_1(x;C_1,C_2),\ y_2(x;C_1,C_2)\) che dipendono da due parametri \(C_1,C_2\) (oltre che dalla variabile \(x\)).
Le condizioni iniziali, invece, ti servono a recuperare la soluzione del problema di Cauchy dall'integrale generale del sistema di EDO.
Per fare ciò, basta determinare tutti e soli i valori dei parametri \(C_1,C_2\) tali che le due funzioni \(y_1(x;C_1,C_2),\ y_2(x;C_1,C_2)\) soddisfino le condizioni iniziali \(y_1(x^0)=y_1^0,\ y_2(x^0)=y_2^0\). Ciò si fa brutalmente, sostituendo \(x^0\) al posto di \(x\) nell'integrale generale e cercando di risolvere il sistema di due equazioni:
\[
\begin{cases}
y_1(x^0; C_1,C_2)=y_1^0\\
y_2(x^0; C_1,C_2)=y_2^0
\end{cases}
\]
rispetto ai due parametri \(C_1,C_2\).
Nel tuo caso, hai*:
\[
\begin{cases}
y_1(x;C_1,C_2) = C_1 \cos x +C_2 \sin x\\
y_2(x;C_1,C_2) = -C_1 \sin x +C_2 \cos x
\end{cases}
\]
e, dato che le condizioni iniziali sono \(y_1(0)=0,\ y_2(0)=1\), il sistema da risolvere per trovare la soluzione è:
\[
\begin{cases}
C_1 \cos 0 +C_2 \sin 0=0\\
-C_1 \sin 0 +C_2 \cos 0=1
\end{cases} \qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{cases}
C_1 =0\\
C_2 =1
\end{cases}
\]
e, ovviamente, la soluzione è:
\[
y_1(x)=\sin x,\ y_2(x)=\cos x; .
\]
__________
* Lo stesso ragionamento vale se scrivi l'integrale generale come somma di esponenziali complessi: cambiano solo i conti da fare.
per trovare y2(x) quindi basta facendo la derivata di y1(x) come dal sistema iniziale,giusto?
In questo caso sì, perchè te lo dice la prima equazione del sistema.
Ah, nota che le due equazioni del sistema si possono "disaccoppiare": infatti, derivando la prima si ottiene:
\[
y_1^{\prime \prime} (x)=y_2^\prime (x)
\]
e, tenendo presente la seconda equazione, dalla precedente discende che:
\[
y_1^{\prime \prime} (x)=-y_1(x)\; ;
\]
analogamente, derivando la seconda e tenendo presente la prima equazione, si trova:
\[
y_2^{\prime \prime} (x)=-y_2(x)\; .
\]
Entrambe le EDO sono equazioni di moti armonici, quindi scriverne le soluzioni è semplice.
Ah, nota che le due equazioni del sistema si possono "disaccoppiare": infatti, derivando la prima si ottiene:
\[
y_1^{\prime \prime} (x)=y_2^\prime (x)
\]
e, tenendo presente la seconda equazione, dalla precedente discende che:
\[
y_1^{\prime \prime} (x)=-y_1(x)\; ;
\]
analogamente, derivando la seconda e tenendo presente la prima equazione, si trova:
\[
y_2^{\prime \prime} (x)=-y_2(x)\; .
\]
Entrambe le EDO sono equazioni di moti armonici, quindi scriverne le soluzioni è semplice.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo