Sistema vincolato

[Studente Anonimo]

Ciao! pubblico un post non troppo diverso da quello che ha pubblicato un altro utente recentemente. Ho un altro dubbio, diverso dal suo.

$x(t) in RR^n$

$A in RR^(n xx n)$

Consideriamo il seguente sistema:

$ { ( dot(x)(t)=Ax(t) ),( sum_i^n x_i(t)= rho !=0 forall t ),( x_i>=0 forall i forall t ):} $

Domanda:

Data una matrice in cui la somma dei valori di ogni colonna è uguale a zero, come faccio a dire che vale:

$sum_i^n x_i(t)= rho !=0 forall t$

Esempio:

dato:

$dot(x)(t)= ( ( -3 , 1 , 2 ),( 2 , 0 , -2 ),( 1 , -1 , 0 ) ) x(t) $

Come faccio a dire che:

$sum_i^n x_i(t)= rho !=0 forall t$

?

[pilloeffe]

Ciao tauto,

Innanzitutto immagino che sia $n = 3 $ nell'esempio che hai fatto, per cui in forma matriciale si può scrivere nel modo seguente:

$ [(dot(x)_1(t)),(dot(x)_2(t)),(dot(x)_3(t))] = [( -3 , 1 , 2 ),( 2 , 0 , -2 ),( 1 , -1 , 0 )] [(x_1(t)),(x_2(t)),(x_3(t))] $

cioè esplicitamente:

${(dot(x)_1(t) = - 3x_1(t) + x_2(t) + 2x_3(t)),(dot(x)_2(t) = 2x_1(t) - 2 x_3(t)),(dot(x)_3(t) = x_1(t) - x_2(t) ):} $

Sommando membro a membro si ha:

$ dot(x)_1(t) + dot(x)_2(t) + dot(x)_3(t) = 0 $

$"d"/("d"t) \sum_{i = 1}^3 x_i(t) = 0 $

$\sum_{i = 1}^3 x_i(t) = "costante" $

[Studente Anonimo]

grazieeee