Sistema PDE

[cinclus]

Ciao a tutti, vorrei chiarire un mio dubbio sulle equazioni differenziali alle derivate parziali.

Nel caso abbia una equazione lineare del secondo ordine e volessi riportarla in un sistema di equazioni del primo ordine da quante equazioni sarebbe formato il mio sistema?

Grazie!

[dissonance]

In generale non lo puoi fare. Mica parliamo di ODE. Prendi l'equazione di Laplace $\Delta u =0$. E' una equazione del secondo ordine che non può essere trasformata in un sistema del primo ordine.

[cinclus]

Nel caso di una parabolica del tipo:
$\(partial ^2 u)/(partial x^2)-4(partial ^2u)/(partial x partial y) +2 (partial^2 u)/(partial y^2)+3u=0$

Posso fare una sostituzione tale che $\ p=(partial u)/(partial x) q=(partial u)/(partial y)$

Il problema che mi pongo è se il sistema sarà composto da due o tre equazioni.
$\{(2( partial p)/(partial x)-4(partial q)/(partial x)+2 (partial q)/(partial y)=3u);
((partial u)/(partial x)+(partial u)/(partial y)=p+q);
((partial q)/(partial x)-(partial p)/(partial y)=0): }$

La terza equazione viene da Schwartz; è necessaria oppure no?

[dissonance]

Mi sa che c'è un errore di segno nella prima equazione. A parte questo, io penso che ti servono tre equazioni. In effetti la tua domanda si può rendere ancora più precisa: tu chiedi se è vero che
\[\tag{1}
p= u_x,\quad q=u_y
\]
è equivalente a
\[\tag{2}
u_x+u_y=p+q,\quad q_x-p_y=0
\]
e, in questo caso, se si può eliminare la seconda equazione nella (2).

A me non sembra proprio ovvio neanche che (1) sia equivalente a (2). Quindi troverei sorprendente che si potesse addirittura eliminare la seconda equazione.

Questa non è una precisa risposta alla tua domanda ma solo la mia opinione intuitiva.

[cinclus]

Ok grazie.
Mi interessava solo sapere se per le PDE c'è qualche regola che a seconda dell' ordine dell'equazione possa determinare il numero di equazioni di primo ordine del sistema.