Sistema PDE

cinclus
Ciao a tutti, vorrei chiarire un mio dubbio sulle equazioni differenziali alle derivate parziali.

Nel caso abbia una equazione lineare del secondo ordine e volessi riportarla in un sistema di equazioni del primo ordine da quante equazioni sarebbe formato il mio sistema?

Grazie!

Risposte
dissonance
In generale non lo puoi fare. Mica parliamo di ODE. Prendi l'equazione di Laplace $\Delta u =0$. E' una equazione del secondo ordine che non può essere trasformata in un sistema del primo ordine.

cinclus
Nel caso di una parabolica del tipo:
$\(partial ^2 u)/(partial x^2)-4(partial ^2u)/(partial x partial y) +2 (partial^2 u)/(partial y^2)+3u=0$

Posso fare una sostituzione tale che $\ p=(partial u)/(partial x) q=(partial u)/(partial y)$

Il problema che mi pongo è se il sistema sarà composto da due o tre equazioni.
$\{(2( partial p)/(partial x)-4(partial q)/(partial x)+2 (partial q)/(partial y)=3u);
((partial u)/(partial x)+(partial u)/(partial y)=p+q);
((partial q)/(partial x)-(partial p)/(partial y)=0): }$

La terza equazione viene da Schwartz; è necessaria oppure no?

dissonance
Mi sa che c'è un errore di segno nella prima equazione. A parte questo, io penso che ti servono tre equazioni. In effetti la tua domanda si può rendere ancora più precisa: tu chiedi se è vero che
\[\tag{1}
p= u_x,\quad q=u_y
\]
è equivalente a
\[\tag{2}
u_x+u_y=p+q,\quad q_x-p_y=0
\]
e, in questo caso, se si può eliminare la seconda equazione nella (2).

A me non sembra proprio ovvio neanche che (1) sia equivalente a (2). Quindi troverei sorprendente che si potesse addirittura eliminare la seconda equazione.

Questa non è una precisa risposta alla tua domanda ma solo la mia opinione intuitiva.

cinclus
Ok grazie.
Mi interessava solo sapere se per le PDE c'è qualche regola che a seconda dell' ordine dell'equazione possa determinare il numero di equazioni di primo ordine del sistema.

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