Sistema ortogonale o ortonormale?

Wintel
Ciao a tutti amici! Allora sto studiando la genesi della serie di Fourier. Ho il sistema (o famiglia) di funzioni seguente:
$1/2$, $cosx$, $cos 2x$, $...$, $cos nx$, $...$, $sinx$, $sin 2x$, $...$, $sin nx$, $...$
Ma questo sistema di funzioni oltre ad essere ortogonale è anche ortonormale?
Sto andando nel pallone, non riesco a venirne fuori.

EDIT: Cioè in pratica per quanto ho capito fino ad ora il discorso è questo: ho spazio $L^2$, che è un'insieme di funzioni; considero il sottospazio $V$ di $L^2$ generato da un sistema di funzioni ortogonali; tramite il procedimento di Gram-Schmidt posso costruirmi un sistema di funzioni ortonormali a partire dal sistema di funzioni ortogonali.
Ora, fatte queste premesse se prendo una funzione $f$ voglio trovare la migliore approssimazione di tale funzione con una combinazione lineare delle funzioni del mio sistema ortonormale.
Se il sistema di funzioni che ho scritto all'inizio del posto è ortonormale allora posso approssimare la funzione $f$ con una combinazione lineare di seni e coseni.
La linea di ragionamento è giusta?

Risposte
Quinzio
Così come l'hai scritto è solo ortogonale, non ortonormale.
Basta calcolare $int_0^(2\pi) (\cos x)^2 dx$ per vedere che fa $\pi$ e quindi concludere che la base non è ortonormale.
La nomalizzazione della base della serie di Fourier avviene appunto dividendo i "vettori" per $\pi$, tranne il termine con $n=0$ che viene contato 2 volte e quindi va diviso per $2\pi$.

Wintel
Vorrei che qualcuno mi spiegasse come vengono fuori le serie di Fourier: un libro mi dice tramite combinazione lineare dei vettori ortogononali, su altri libri questi vettori sono ortonormali...su altri libri ancora mi viene detto che le serie di fourier le ottengo facendo la proiezione ortogonale di una determinata funzione.
Non ci sto capendo più niente. Qualcuno è in grado di aiutarmi?

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