Sistema ODE secondo ordine
Ciao a tutti,
sono nuovo del forum e vi scrivo perché mi sono imbattuto in un problema mentre scrivevo la tesi di laurea triennale in ingegneria.
Devo analizzare un sistema di due ODE del secondo ordine non lineari e per farlo ho pensato di fare un'analisi di stabilità lineare, analogamente a quanto mi hanno insegnato nel caso di una sola equazione del secondo ordine. Allora ho introdotto due nuove variabili (che sarebbero poi le velocità del mio sistema) ottenendo un sistema di quattro equazioni differenziali del primo ordine. Di questo sistema ho trovato la jacobiana e l'ho valutata nel punto di equilibrio, che è poi l'origine.
A questo punto ho una matrice 4x4 di cui calcolo gli autovalori e voglio vedere come variano a seconda dei valori che assume un parametro per vedere quando l'origine è stabile e quando non lo è. Nel caso 2x2 direi che se gli autovalori hanno parte reale positiva il sistema è instabile e se hanno parte reale negativa è stabile e vorrei fare delle considerazioni analoghe per il mio sistema 4x4. Quello che ottengo è che sotto un valore critico del parametro i quattro autovalori hanno tutti parte reale negativa e il sistema è stabile mentre oltre quel parametro critico una coppia di autovalori complessi coniugati ha parte real negativa e la'altra coppia ha parte reale positiva. Su un altro forum ho letto che significa che nel primo caso l'origine è un nodo stabile mentre nel secondo caso è un punto di sella e che c'entra in qualche modo il teorema di Hartman Grobman ma non ho trovato fonti certe. Sapreste darmi indicazioni più precise?
Grazie mille per l'attenzione
sono nuovo del forum e vi scrivo perché mi sono imbattuto in un problema mentre scrivevo la tesi di laurea triennale in ingegneria.
Devo analizzare un sistema di due ODE del secondo ordine non lineari e per farlo ho pensato di fare un'analisi di stabilità lineare, analogamente a quanto mi hanno insegnato nel caso di una sola equazione del secondo ordine. Allora ho introdotto due nuove variabili (che sarebbero poi le velocità del mio sistema) ottenendo un sistema di quattro equazioni differenziali del primo ordine. Di questo sistema ho trovato la jacobiana e l'ho valutata nel punto di equilibrio, che è poi l'origine.
A questo punto ho una matrice 4x4 di cui calcolo gli autovalori e voglio vedere come variano a seconda dei valori che assume un parametro per vedere quando l'origine è stabile e quando non lo è. Nel caso 2x2 direi che se gli autovalori hanno parte reale positiva il sistema è instabile e se hanno parte reale negativa è stabile e vorrei fare delle considerazioni analoghe per il mio sistema 4x4. Quello che ottengo è che sotto un valore critico del parametro i quattro autovalori hanno tutti parte reale negativa e il sistema è stabile mentre oltre quel parametro critico una coppia di autovalori complessi coniugati ha parte real negativa e la'altra coppia ha parte reale positiva. Su un altro forum ho letto che significa che nel primo caso l'origine è un nodo stabile mentre nel secondo caso è un punto di sella e che c'entra in qualche modo il teorema di Hartman Grobman ma non ho trovato fonti certe. Sapreste darmi indicazioni più precise?
Grazie mille per l'attenzione
Risposte
Ciao johnny97,
Magari potresti dare un'occhiata ai riferimenti suggeriti in questo post, fra i quali il testo di Teschl.
Magari potresti dare un'occhiata ai riferimenti suggeriti in questo post, fra i quali il testo di Teschl.
@pilloeffe: ah ti è piaciuto? sono molto contento.
Comunque volevo dire che in queste cose non è tanto questione di dimensione. In dimensione 2 o in dimensione 4, è uguale. Se tutti gli autovalori sono negativi, il punto è stabile, altrimenti no. Poi si tratta di andare a vedere come si chiamano i vari casi possibili: nodi, fuochi, selle, ecc... Ma è solo questione di terminologia, non di sostanza.
Comunque volevo dire che in queste cose non è tanto questione di dimensione. In dimensione 2 o in dimensione 4, è uguale. Se tutti gli autovalori sono negativi, il punto è stabile, altrimenti no. Poi si tratta di andare a vedere come si chiamano i vari casi possibili: nodi, fuochi, selle, ecc... Ma è solo questione di terminologia, non di sostanza.
Grazie! Alla fine anche io mi ero reso poi conto che non cambiasse molto a livello sostanziale con le dimensioni ma volevo esserne certo. Grazie mille a entrambi per i consigli 
"dissonance":
@pilloeffe: ah ti è piaciuto?
Sì molto, me li sono scaricati subito... Mentirei se ti dicessi che li ho letti tutti, ma un'occhiata gliel'ho data...
Mentre cercavo il tuo post ed altro materiale sul teorema di Hartman Grobman (trovando questo) ho trovato anche una dispensa che mi pare piuttosto ben fatta e la condivido con voi:
https://users.dimi.uniud.it/~paolo.baiti/corsi/AA2015-16/EquaDiff/dispense-EqDif-15beta1hyp.pdf
Scusate ma mentre che ci sono ne approfitto per farvi un'altra domanda. Il sistema descrive una biforcazione di Hopf e la nascita di un ciclo limite, cosa che vedo anche dalla soluzione numerica che ho ricavato. Tuttavia non è soddisfatta la condizione del teorema di Hopf per cui si ha che, tra le altre ipotesi, se nel punto critico gli autovalori hanno parte reale nulla allora si ha un ciclo limite. Nel punto critico una coppia di autovalori complessi coniugati del mio sistema ha effettivamente parte reale nulla ma l'altra coppia ha parte reale minore di zero. La domanda è questa: è possibile avere una biforcazione di Hopf sena che sia soddisfatto il teorema di Hopf? IL teorema di Hopf costituisce una condizione necessaria per l'esistenza del ciclo limite?
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
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