Sistema non lineare con passaggio in sottovarietà.
Ciao a tutti. Ho postato lo stesso topic anche nella sezione di Algebra.. Ma forse c'è più gente in questa sezione.
Non sapevo che titolo mettere sinceramente.
Discutere l'esistenza di soluzioni $x,y,w,z in R$ in un intorno di $0 in R^4$ del sistema non lineare
${ ( e^(z+w)+xy+zwe^(y+z)=1 ),( y+sin(xyz)+cos(xzw)=1 ):}$
Allora. Ammetto di non saperne nulla di sistemi non lineari. Comunque ho provato a risolvere questo sistema prima cercando di approssimare con Taylor ciascuna funzione approssimabile... ma mi veniva un casino e non avevo voglia di fare calcoli.
Allora ho pensato a ridurre il sistema ad una sola equazione $e^(z+w)+xy+zwe^(y+z) - y -sin(xyz)-cos(xzw)=0$ e ho considerato la funzione
$g(x,y,w,z) = e^(z+w)+xy+zwe^(y+z) - y -sin(xyz)-cos(xzw)$.
Mi sono chiesto, l'insieme $M={(x,y,w,z) in R^4 : g(x,y,w,z) = 0}$ è una sottovarietà?
Supposto che il gradiente non si annulli(è ristrettivo supporlo in questo caso? credo di sì...) allora ho una 3-varietà.
Il rango della jacobiana è 1 e quindi la dimensione di M è 3.
Guardate, non so neanche io perchè ho cominciato a pensare in termini di varietà... ma siccome sto imparando ora quest'argomento, mi ci sono avventurato e ho cercato di fare qualcosa di sensato.
Insomma, se calcolo il gradiente(calcolato sia a mano che con Mathematica) viene che
$ nablag(x,y,w,z) = ( ( e^(w + x) + y - yz*cos(x y z) + wz*sin(w x z) ),( -1 + x + e^(y + z) w z - x z*cos(x y z) ),(e^(w + x) + e^(y + z) z + x z *sin(w x z)),( e^(y + z) w + e^(y + z) w z - x y*cos(x y z) + wx*sin(w x z) ) )$
e calcolato in $(0,0,0,0)$
$ nablag(0,0,0,0) = ( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) $
Lo spazio tangente alla varietà $M$ in $(0,0,0,0)$ è il sottospazio vettoriale $V= Span{( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( -1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1) )}$.
Ora.. è un caso che tutti i punti del tipo $(x,y,w,z)=t( ( -1 ),( 0 ),( 1),( 0 ) )$ e del tipo $(x,y,w,z)=t( ( 0 ),( 0 ),( 0),( 1 ) )$ siano soluzioni del mio sistema? So che quelli che ho appena scritto sono vettori, ma ho notato questa strana coincidenza...
E' una coincidenza o c'è sotto qualcosa che non so?
Ho preso una strada sbagliata o una strada che potrebbe aiutarmi a risolvere il problema?
(Ovviamente la richiesta è quella di studiare le soluzioni in un intorno di zero. Visto che il gradiente in 0 non si annulla, allora posso concludere che vi è un intorno di 0 in cui la funzione vale localmente zero?)
Grazie.
Non sapevo che titolo mettere sinceramente.
Discutere l'esistenza di soluzioni $x,y,w,z in R$ in un intorno di $0 in R^4$ del sistema non lineare
${ ( e^(z+w)+xy+zwe^(y+z)=1 ),( y+sin(xyz)+cos(xzw)=1 ):}$
Allora. Ammetto di non saperne nulla di sistemi non lineari. Comunque ho provato a risolvere questo sistema prima cercando di approssimare con Taylor ciascuna funzione approssimabile... ma mi veniva un casino e non avevo voglia di fare calcoli.
Allora ho pensato a ridurre il sistema ad una sola equazione $e^(z+w)+xy+zwe^(y+z) - y -sin(xyz)-cos(xzw)=0$ e ho considerato la funzione
$g(x,y,w,z) = e^(z+w)+xy+zwe^(y+z) - y -sin(xyz)-cos(xzw)$.
Mi sono chiesto, l'insieme $M={(x,y,w,z) in R^4 : g(x,y,w,z) = 0}$ è una sottovarietà?
Supposto che il gradiente non si annulli(è ristrettivo supporlo in questo caso? credo di sì...) allora ho una 3-varietà.
Il rango della jacobiana è 1 e quindi la dimensione di M è 3.
Guardate, non so neanche io perchè ho cominciato a pensare in termini di varietà... ma siccome sto imparando ora quest'argomento, mi ci sono avventurato e ho cercato di fare qualcosa di sensato.
Insomma, se calcolo il gradiente(calcolato sia a mano che con Mathematica) viene che
$ nablag(x,y,w,z) = ( ( e^(w + x) + y - yz*cos(x y z) + wz*sin(w x z) ),( -1 + x + e^(y + z) w z - x z*cos(x y z) ),(e^(w + x) + e^(y + z) z + x z *sin(w x z)),( e^(y + z) w + e^(y + z) w z - x y*cos(x y z) + wx*sin(w x z) ) )$
e calcolato in $(0,0,0,0)$
$ nablag(0,0,0,0) = ( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) $
Lo spazio tangente alla varietà $M$ in $(0,0,0,0)$ è il sottospazio vettoriale $V= Span{( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( -1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1) )}$.
Ora.. è un caso che tutti i punti del tipo $(x,y,w,z)=t( ( -1 ),( 0 ),( 1),( 0 ) )$ e del tipo $(x,y,w,z)=t( ( 0 ),( 0 ),( 0),( 1 ) )$ siano soluzioni del mio sistema? So che quelli che ho appena scritto sono vettori, ma ho notato questa strana coincidenza...
E' una coincidenza o c'è sotto qualcosa che non so?
Ho preso una strada sbagliata o una strada che potrebbe aiutarmi a risolvere il problema?
(Ovviamente la richiesta è quella di studiare le soluzioni in un intorno di zero. Visto che il gradiente in 0 non si annulla, allora posso concludere che vi è un intorno di 0 in cui la funzione vale localmente zero?)
Grazie.
Risposte
Puoi considerare la funzione
\[
F:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^2,\qquad
F(x,y,w,z) := (e^{z+w}+xy+zwe^{y+z}-1 ,y+\sin(xyz)+\cos(xzw)-1)
\]
e vedere se, per caso, sono soddisfatte le ipotesi del teorema del Dini nell'origine.
\[
F:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^2,\qquad
F(x,y,w,z) := (e^{z+w}+xy+zwe^{y+z}-1 ,y+\sin(xyz)+\cos(xzw)-1)
\]
e vedere se, per caso, sono soddisfatte le ipotesi del teorema del Dini nell'origine.
"Rigel":
Puoi considerare la funzione
\[
F:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^2,\qquad
F(x,y,w,z) := (e^{z+w}+xy+zwe^{y+z}-1 ,y+\sin(xyz)+\cos(xzw)-1)
\]
e vedere se, per caso, sono soddisfatte le ipotesi del teorema del Dini nell'origine.
Grazie. Ci avevo già pensato solo che ho problemi nel trovare la funzione continua che richiede il teorema.
Oltre comunque alla soluzione richiesta, tutto il lavoro che ho fatto è completamente inutile? Cioè, è una pura coincidenza?
Anziché ragionare sul gradiente di $g$ ragiona sulla matrice Jacobiana di $F$; in tal modo puoi individuare tutte le soluzioni del sistema (e non solo alcune).
"Rigel":
Anziché ragionare sul gradiente di $g$ ragiona sulla matrice Jacobiana di $F$; in tal modo puoi individuare tutte le soluzioni del sistema (e non solo alcune).
Rigel ti ringrazio del tuo suggerimento. Ti prometto che lo farò appena mi sarò sciolto questo dubbio
Se considero la funzione $g$ e applico il teorema di dini esplicitando la $w$ ottengo che la funzione $w=f(x,y,z)$ è proprio $w=-x+y$ ossia il sottospazio vettoriale tangente, di cui solo due generatori sono soluzioni.
In un certo qual modo la funzione mi rimanda all'insieme di punti(credo siano vettori in realtà...) del sottospazio tangente?
Chiaramente, per definizione di $g$, gli zeri di $F$ sono anche zeri di $g$.
Posto che valgano le ipotesi del teorema del Dini anche per $F$, gli zeri di $F$ formano, localmente, una 2-varietà; quelli di $g$ invece sono una 3-varietà che contiene la precedente.
Posto che valgano le ipotesi del teorema del Dini anche per $F$, gli zeri di $F$ formano, localmente, una 2-varietà; quelli di $g$ invece sono una 3-varietà che contiene la precedente.
"Rigel":
Chiaramente, per definizione di $g$, gli zeri di $F$ sono anche zeri di $g$.
Posto che valgano le ipotesi del teorema del Dini anche per $F$, gli zeri di $F$ formano, localmente, una 2-varietà; quelli di $g$ invece sono una 3-varietà che contiene la precedente.
Quindi dopo aver appurato che che $g$ è una 3-varietà e che il suo spazio tangente è formato da tra vettori posso dire che due di questi generano le soluzioni per $F$?
L'unico modo certo che hai per dirlo è vedere se si può applicare il teorema del Dini a $F$.
"Rigel":
L'unico modo certo che hai per dirlo è vedere se si può applicare il teorema del Dini a $F$.
Quindi una volta che posso applicare Dini a $F$ sono sicuro che quei vettori(punti, alla fine coincidono visto che è tutto puntato in zero) sono i generatori per le soluzioni di $g$ e quindi di $F$?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo