Sistema lineare non omogeneo a coefficienti costanti
ho dei problemi nella risoluzione di questo esercizio (problema di Cauchy):
x' = 4x - y + 2z + e^(3t)
y' = -x + 4y - 2z - e^(3t)
z' = -x + y + z + 2e^(3t)
(x,y,z)(0)= (1,-1,2)
allora, cerco di spiegarvi come ho cercato di risolverlo e i vari guai
prima risolvo il sistema omogeneo, il polinomio caratteristico della matrice associata viene (λ-3)^3 = 0
quindi 3 unico autovalore con molteplicità algebrica 3, diversa da quella geometrica. cercando gli autovettori trovo che la dimensione di Ker(λ-3) = 2
ovvero mi trovo una sola equazione in tre variabili x = y - 2z
a questo punto potrei scrivere y(1,1,0) + z(-2,0,1). quelli appena scritti sono due autovettori e componendoli posso trovare il terzo autovettore (generalizzato), oppure per ottenere il primo autovettore devo combinarli e da lì ottenerne due generalizzati?
una volta trovata la soluzione del sistema omogeneo, passo alla soluzione particolare.
avendo 3 molteplicità 3 nel polinomio caratteristico, il polinomio risultante sarà di grado 3. a questo punto ho provato a introdurre il polinomio di terzo grado come soluzione del sistema per cercare i coefficienti del polinomio. purtroppo anche qui non riesco a procere perchè il primo vettore, coefficiente del termine di grado 3, mi viene nullo
non so da quanto tempo ci giro intorno, ho provato a cercare anche su internet esercizi simili ma niente...e sul mio libro di analisi 2 (Bacciotti, Ricci) l'argomento è trattato in modo abbastanza superficiale...
grazie per l'attenzione, e per chi avesse voglia di aiutarmi
x' = 4x - y + 2z + e^(3t)
y' = -x + 4y - 2z - e^(3t)
z' = -x + y + z + 2e^(3t)
(x,y,z)(0)= (1,-1,2)
allora, cerco di spiegarvi come ho cercato di risolverlo e i vari guai
prima risolvo il sistema omogeneo, il polinomio caratteristico della matrice associata viene (λ-3)^3 = 0
quindi 3 unico autovalore con molteplicità algebrica 3, diversa da quella geometrica. cercando gli autovettori trovo che la dimensione di Ker(λ-3) = 2
ovvero mi trovo una sola equazione in tre variabili x = y - 2z
a questo punto potrei scrivere y(1,1,0) + z(-2,0,1). quelli appena scritti sono due autovettori e componendoli posso trovare il terzo autovettore (generalizzato), oppure per ottenere il primo autovettore devo combinarli e da lì ottenerne due generalizzati?
una volta trovata la soluzione del sistema omogeneo, passo alla soluzione particolare.
avendo 3 molteplicità 3 nel polinomio caratteristico, il polinomio risultante sarà di grado 3. a questo punto ho provato a introdurre il polinomio di terzo grado come soluzione del sistema per cercare i coefficienti del polinomio. purtroppo anche qui non riesco a procere perchè il primo vettore, coefficiente del termine di grado 3, mi viene nullo
non so da quanto tempo ci giro intorno, ho provato a cercare anche su internet esercizi simili ma niente...e sul mio libro di analisi 2 (Bacciotti, Ricci) l'argomento è trattato in modo abbastanza superficiale...
grazie per l'attenzione, e per chi avesse voglia di aiutarmi
Risposte
ho risolto per gli autovettori grazie al canuto tabacco consultabile su google books 
ma sulla soluzione particolare ancora non riesco a procedere...
ma sulla soluzione particolare ancora non riesco a procedere...
hai provato a sostituire nel sistema una soluzione test del tipo
$(x(t),y(t),z(t)) = (Ae^(3t),Be^(3t),Ce^(3t))$
e poi risolvere il sistema algebrico rispetto ad A,B e C?!?
$(x(t),y(t),z(t)) = (Ae^(3t),Be^(3t),Ce^(3t))$
e poi risolvere il sistema algebrico rispetto ad A,B e C?!?
il problema è che anche facendo così il sistema viene incompatibile, la stessa cosa che mi succede cercando i coefficienti dei polinomi...non capisco dove sbaglio
Allora, premetto che il metodo risolutivo non l'ho appreso in corsi di matematica, bensì di automatica, quindi può essere che ci sia qualcosa dato per scontato... Comunque a parte questo...
Riscrivo il sistema dato in forma matriciale. Chiamo $x=((x1), (x2), (x3))$, da cui $x'=((x1'), (x2'), (x3'))$, infine sia $b=((1),(-1),(2))$ e $u=e^(3t)$. Sia $A= ((4,-1,2),(-1,4,2),(-1,1,1))$, allora il sistema dunque si scrive come
$x' =Ax + bu$
con $x(0)=((1),(-1),(2))$.
Per trovare la soluzione di questo sistema, conviene rappresentare lo stesso in una nuova base di $\R^3$, l'idea è quella di poter ottenere per cambiamento una matrice simile ad $A$ che ci porta ad avere un sistema di equazioni più semplice.
Dato che come hai mostrato, $A$ ammette l'autovalore $3$ con molteplicità algebrica $3$ e geometrica $2$, possiamo mettere in forma di Jordan la matrice.
L'autospazio associato all'autovalore è (x, x + 2z, z), e dato che ha dimensione due, sicuramente ci sono due autovettori di base, inoltre dato che stiamo lavorando in $\R^3$, esiste un altro vettore della base di Jordan all'esterno di questo autospazio a cui applicando la trasformazione $A - 3I$ ci porta in un vettore dell'autospazio.
Consideriamo quindi il vettore $(0,1,0)$ che non appartiene all'autospazio, e calcoliamoci il vettore dell'autospazio ottenuto dall'applicazione di $A-3I$, dunque
$(A - 3I)((0),(1),(0)) = ((1,-1,2),(-1,1,-2),(-1,1,-2))((0),(1),(0)) = ((-1),(1),(1))$
Come altro vettore della base, scegliamo un vettore appartenente all'autospazio linearmente indipendente da quello appena trovato, possiamo prendere dunque (1,1,0).
Costruiamo quindi la matrice di trasformazione $T^(-1) = ((1,-1,0),(1,1,1),(0,1,0))$ che contiene nelle colonne i tre autovettori generalizzati.
Quindi considerando la trasformazione $z=Tx$, con $T$ inversa di $T^(-1)$, si può riscrivere il sistema come
$z'=TAT^(-1)z + Tb u$
e $z(0) = T x(0)$
ma $TAT^(-1)$ è la matrice simile ad $A$ nella forma di Jordan che per come abbiamo costruito $T^-1$ risulterà essere $J=((3,0,0),(0,3,1),(0,0,3))$
A questo punto abbiamo un sistema equivalente a quello di partenza riferito alla base di Jordan, quindi si possono risolvere le equazioni differenziali con semplicità e ottenere la soluzione $z$, per ottenere quella rispetto alla base di partenza basta semplicemente applicare la trasformazione inversa $x=T^(-1) z$.
Riscrivo il sistema dato in forma matriciale. Chiamo $x=((x1), (x2), (x3))$, da cui $x'=((x1'), (x2'), (x3'))$, infine sia $b=((1),(-1),(2))$ e $u=e^(3t)$. Sia $A= ((4,-1,2),(-1,4,2),(-1,1,1))$, allora il sistema dunque si scrive come
$x' =Ax + bu$
con $x(0)=((1),(-1),(2))$.
Per trovare la soluzione di questo sistema, conviene rappresentare lo stesso in una nuova base di $\R^3$, l'idea è quella di poter ottenere per cambiamento una matrice simile ad $A$ che ci porta ad avere un sistema di equazioni più semplice.
Dato che come hai mostrato, $A$ ammette l'autovalore $3$ con molteplicità algebrica $3$ e geometrica $2$, possiamo mettere in forma di Jordan la matrice.
L'autospazio associato all'autovalore è (x, x + 2z, z), e dato che ha dimensione due, sicuramente ci sono due autovettori di base, inoltre dato che stiamo lavorando in $\R^3$, esiste un altro vettore della base di Jordan all'esterno di questo autospazio a cui applicando la trasformazione $A - 3I$ ci porta in un vettore dell'autospazio.
Consideriamo quindi il vettore $(0,1,0)$ che non appartiene all'autospazio, e calcoliamoci il vettore dell'autospazio ottenuto dall'applicazione di $A-3I$, dunque
$(A - 3I)((0),(1),(0)) = ((1,-1,2),(-1,1,-2),(-1,1,-2))((0),(1),(0)) = ((-1),(1),(1))$
Come altro vettore della base, scegliamo un vettore appartenente all'autospazio linearmente indipendente da quello appena trovato, possiamo prendere dunque (1,1,0).
Costruiamo quindi la matrice di trasformazione $T^(-1) = ((1,-1,0),(1,1,1),(0,1,0))$ che contiene nelle colonne i tre autovettori generalizzati.
Quindi considerando la trasformazione $z=Tx$, con $T$ inversa di $T^(-1)$, si può riscrivere il sistema come
$z'=TAT^(-1)z + Tb u$
e $z(0) = T x(0)$
ma $TAT^(-1)$ è la matrice simile ad $A$ nella forma di Jordan che per come abbiamo costruito $T^-1$ risulterà essere $J=((3,0,0),(0,3,1),(0,0,3))$
A questo punto abbiamo un sistema equivalente a quello di partenza riferito alla base di Jordan, quindi si possono risolvere le equazioni differenziali con semplicità e ottenere la soluzione $z$, per ottenere quella rispetto alla base di partenza basta semplicemente applicare la trasformazione inversa $x=T^(-1) z$.
il fatto di utilizzare questo cambio di base risulta essere comodo sia per trovare la soluzione dell'omogenea, sia per quella particolare. tuttavia non capisco per quale motivo il metodo (polinomio standard di terzo grado sostituito come soluzione nel sistema, poi impongo l'uguaglianza tra i coefficienti degli elementi dello stesso grado...)che uso solitamente per trovare la soluzione particolare qui non funzioni. è anche vero che finora non l'avevo applicato ad una matrice con un solo autovalore triplo con molteplicità algebrica diversa da quella geometrica...potrebbe essere questo il problema?
grazie comunque per la soluzione proposta, mi capitasse un altro caso del genere sarebbe una buona via d'uscita!
grazie comunque per la soluzione proposta, mi capitasse un altro caso del genere sarebbe una buona via d'uscita!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo