Sistema equazioni differenziali a coefficienti costanti
Salve a tutti ragazzi, ho il sistema di equazioni differenziali a coefficienti costanti formato da due equazioni:
$x'=x-4y$
$y'=x+y$
Ho trovato gli autovalori della matrice dei coefficienti che sono $A= 1+i2$ e $B=1-i2$. Come potete vedere sono due autovalori complessi. A questo punto dovrei trovare gli autovettori (sto andando per ipotesi perchè non ha mai fatto un esercizio del genere).
Un autovettore mi viene $x=2iy$ che per $y=1$ l'autovettore è $(2i,1)$
L'altro autovettore mi viene $x=-2iy$ che per $y=1$ viene $(-2i,1)$
A questo punto la soluzione si scrive normalmente come i sistemi di equazioni differenziali che hanno autovalori reali?
Non c'è un modo più semplice per scrivere la soluzione?
$x'=x-4y$
$y'=x+y$
Ho trovato gli autovalori della matrice dei coefficienti che sono $A= 1+i2$ e $B=1-i2$. Come potete vedere sono due autovalori complessi. A questo punto dovrei trovare gli autovettori (sto andando per ipotesi perchè non ha mai fatto un esercizio del genere).
Un autovettore mi viene $x=2iy$ che per $y=1$ l'autovettore è $(2i,1)$
L'altro autovettore mi viene $x=-2iy$ che per $y=1$ viene $(-2i,1)$
A questo punto la soluzione si scrive normalmente come i sistemi di equazioni differenziali che hanno autovalori reali?
Non c'è un modo più semplice per scrivere la soluzione?
Risposte
di solito si scrive la soluzione come combinazione di seni e coseni ricavati attraverso la forma polare dei numeri complessi
Ah,bene ...non lo sapevo 
. Walter, per favore, potresti dirmi come fare? Magari proprio sul mio esercizio, così lo prenderò come esempio per i miei futuri esercizi.
. Walter, per favore, potresti dirmi come fare? Magari proprio sul mio esercizio, così lo prenderò come esempio per i miei futuri esercizi.
[Ho cancellato la risposta precedente perché avevo scritto una fesseria, ti chiedo scusa.]
Peccato 
Ragazzi, se avete la risposta che mi serve mi fareste un grande favore. Ho la sensazione che mi uscirà proprio questo!
Ragazzi, se avete la risposta che mi serve mi fareste un grande favore. Ho la sensazione che mi uscirà proprio questo!
Il punto è che la matrice non è diagonalizzabile. In questi casi, la procedura da seguire dipende da quanta algebra uno conosce, e si può risolvere in vari modi, più o meno pratici. Sono comunque tutte cose molto conosciute che di sicuro trovi sul tuo libro di testo. Per esempio le trovi di sicuro su Analisi matematica 2 di Salsa e Pagani, nella vecchia edizione (ma immagino pure nelle nuove ci sarà).
Ho già risposto all'identico sistema all'indirizzo:
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=120861
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=120861
Ciromario, la spiegazione che mi hai linkato è IMPECCABILE. Dissonance, ringrazio anche te, però devo dirti che purtroppo sul mio libro di testo (Marcellini) non mi è risultato affatto chiaro tutto il capitolo sulle equazioni a differenza di tutto il resto che è stato fenomenale.
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