Sistema equazioni differenziali
Salve ragazzi, avrei un problema. Ho questo sistema di equazioni differenziali da risolvere :
$\{ (x'=2x-y+e^t),(y'=4x-3y+e^-t):}$
allora la prof usa il metodo della variazione delle costanti(almeno così ha detto), cioè derivo la prima ottenendo $x''=2x'-y'+e^t$ sostituisco a $y'$ la seconda equazione del sistema, e infine sostituisco la $y$ ottenendo un'equazione differenziale del secondo ordine cioè :
$x'' + x' -2x=4e^t-e^-t$
infine risolvo questa e sostituisco nel sistema per trovare la $y$.
Ora il problema è questo, non capisco se $g(x)$ ovvero il mio termine noto ($e^t$) va derivato o no. Mi spiego meglio, se volessi fare questo esercizio partendo dalla seconda equazione ottengo lo stesso risultato se derivo $e^-t$ quindi se scrivo $-e^-t$. Volevo capire se $g(x)$ va derivato o no, perchè ho un altro esercizio dove se derivo non ottengo la soluzione corretta. In attesa di una vostra risposta, grazie a tutti ciao.
$\{ (x'=2x-y+e^t),(y'=4x-3y+e^-t):}$
allora la prof usa il metodo della variazione delle costanti(almeno così ha detto), cioè derivo la prima ottenendo $x''=2x'-y'+e^t$ sostituisco a $y'$ la seconda equazione del sistema, e infine sostituisco la $y$ ottenendo un'equazione differenziale del secondo ordine cioè :
$x'' + x' -2x=4e^t-e^-t$
infine risolvo questa e sostituisco nel sistema per trovare la $y$.
Ora il problema è questo, non capisco se $g(x)$ ovvero il mio termine noto ($e^t$) va derivato o no. Mi spiego meglio, se volessi fare questo esercizio partendo dalla seconda equazione ottengo lo stesso risultato se derivo $e^-t$ quindi se scrivo $-e^-t$. Volevo capire se $g(x)$ va derivato o no, perchè ho un altro esercizio dove se derivo non ottengo la soluzione corretta. In attesa di una vostra risposta, grazie a tutti ciao.
Risposte
Certo che devi derivare!
Praticamente stai derivando un'uguaglianza m.a.m. rispetto a [tex]$t$[/tex] e tieni presente che se due funzioni sono uguali, allora anche le loro derivate sono uguali.
Insomma: derivi la prima e trovi [tex]$x^{\prime \prime} -2x^\prime +y^\prime =e^t$[/tex]; poi prendi la seconda equazione e la sostituisci nella prima, ottenendo [tex]$x^{\prime \prime} -2x^\prime +4x-3y=e^t-e^{-t}$[/tex]; poi ti ricordi che dalla prima [tex]$y=2x-x^\prime +e^t$[/tex] e sostituisci per ottenere una EDO in [tex]$x$[/tex]... Mi sembra tutto giusto.
Però tieni presente che sistemi del genere si possono risolvere anche in altri modi: ad esempio determinando gli autovalori della matrice dei coefficienti della parte lineare e poi andando ad applicare una tecnica simile a quella per la risoluzione delle EDO complete con il termine noto in forma "comoda".
Praticamente stai derivando un'uguaglianza m.a.m. rispetto a [tex]$t$[/tex] e tieni presente che se due funzioni sono uguali, allora anche le loro derivate sono uguali.
Insomma: derivi la prima e trovi [tex]$x^{\prime \prime} -2x^\prime +y^\prime =e^t$[/tex]; poi prendi la seconda equazione e la sostituisci nella prima, ottenendo [tex]$x^{\prime \prime} -2x^\prime +4x-3y=e^t-e^{-t}$[/tex]; poi ti ricordi che dalla prima [tex]$y=2x-x^\prime +e^t$[/tex] e sostituisci per ottenere una EDO in [tex]$x$[/tex]... Mi sembra tutto giusto.
Però tieni presente che sistemi del genere si possono risolvere anche in altri modi: ad esempio determinando gli autovalori della matrice dei coefficienti della parte lineare e poi andando ad applicare una tecnica simile a quella per la risoluzione delle EDO complete con il termine noto in forma "comoda".
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