Sistema equazioni differenziali
Potete darmi una mano con questo esercizio, non so proprio da dove iniziare
Dato il sistema $x'=x^(2)/y ,y'=x/2, x(0)=\alpha, y(0)=1$ giustificare che ammette un'unica soluzione massimale e trovarla per $\alpha=0$.
Gli unici sistemi che so risolvere sono quelli a coefficienti costanti dove la matrice può essere diagonalizzata e se ne calcola l'esponenziale..
Grazie
Dato il sistema $x'=x^(2)/y ,y'=x/2, x(0)=\alpha, y(0)=1$ giustificare che ammette un'unica soluzione massimale e trovarla per $\alpha=0$.
Gli unici sistemi che so risolvere sono quelli a coefficienti costanti dove la matrice può essere diagonalizzata e se ne calcola l'esponenziale..
Grazie
Risposte
Innanzitutto, un sistema di ODE lo puoi scrivere col codice che segue:
che restituisce:
$\{ (x’(t) = 1/2 x^2(t)), (y’(t) = 1/2 x(t)), (x(0) = alpha), (y(0) = 1) :}$.
Che la soluzione esista e sia unica (ed anche regolarissima) segue dal fatto che il secondo membro $mathbf(f)(t,x,y) = (1/2 x^2, 1/2 x)$ è di classe $C^oo(RR^3)$, quindi soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locali.
Per quanto riguarda la soluzione, ricorda: se sembra difficile, probabilmente non c’è nessun conto da fare e la soluzione si vede “ad occhio”…
$\{ (x’(t) = 1/2 x^2(t)), (y’(t) = 1/2 x(t)), (x(0) = alpha), (y(0) = 1) :}$che restituisce:
$\{ (x’(t) = 1/2 x^2(t)), (y’(t) = 1/2 x(t)), (x(0) = alpha), (y(0) = 1) :}$.
Che la soluzione esista e sia unica (ed anche regolarissima) segue dal fatto che il secondo membro $mathbf(f)(t,x,y) = (1/2 x^2, 1/2 x)$ è di classe $C^oo(RR^3)$, quindi soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locali.
Per quanto riguarda la soluzione, ricorda: se sembra difficile, probabilmente non c’è nessun conto da fare e la soluzione si vede “ad occhio”…
cerando le primitive ad occhio mi verrebbe da dire che la soluzione sia $x=x^(3)/6+\alpha$ e $y=x^(4)/(48)+\alphax+1$ dove poi eventualmente si pone $\alpha=0$, è corretto così?
Invece nella prima domanda forse l'enfasi era sul fatto che la soluzione sia massimale (si intende che deve essere globale o si deve specificare il massimo dominio possibile?). Ora la soluzione non ha problemi invece nell'equazione si divide per y quindi mi verrebbe da dire inizialmente $D=R^2-(x,0)$ o si può prolungare?
Invece nella prima domanda forse l'enfasi era sul fatto che la soluzione sia massimale (si intende che deve essere globale o si deve specificare il massimo dominio possibile?). Ora la soluzione non ha problemi invece nell'equazione si divide per y quindi mi verrebbe da dire inizialmente $D=R^2-(x,0)$ o si può prolungare?
dice gugo che non c'è nessun conto da fare
infatti , la soluzione del sistema con le condizioni iniziali $x(0)=0;y(0)=1$ è semplicemente
$x(t)=0; y(t)=1$
verifica sostituendo nelle equazioni date
infatti , la soluzione del sistema con le condizioni iniziali $x(0)=0;y(0)=1$ è semplicemente
$x(t)=0; y(t)=1$
verifica sostituendo nelle equazioni date
Inoltre chiede una volta osservato che $log(x^2/y)$ è un integrale primo determinare la soluzione per $a!=0$, che cosa significa?
Per verificare che sia integrale primo la derivata y/x^2 deve annullarsi e questo viene verificato dalle condizioni iniziali..
Per verificare che sia integrale primo la derivata y/x^2 deve annullarsi e questo viene verificato dalle condizioni iniziali..
Cos'è un integrale primo?
A cosa serve?
A cosa serve?
è una costante del moto ma non so come mi possa aiutare
E che significa?
la quantità $log(x^2/y)$ si conserva ed è sempre pari a $2loga$ quindi $(x,y=x^2/a^2)$ è la soluzione che stiamo cercando..?
Ma a che servono le perifrasi quando esistono le definizioni?
Ricorda: quando un matematico ti chiede "Che significa?" vuole (il più delle volte) dire "Qual è la definizione?".
Se hai un sistema di ODE del primo ordine in forma normale $mathbf(x)^\prime (t) = mathbf(f)(t, mathbf(x)(t))$ definito in un aperto $Omega sube RR^(1+n)$, si chiama integrale primo del sistema ogni funzione $U:Omega -> RR$ tale che per ogni soluzione $mathbf(x):I -> RR^n$ del sistema risulti $U(t,mathbf(x)(t)) = "costante"$ in $I$.
È chiaro che se conosci il valore della $"costante"$, puoi pensare di ricavare $mathbf(x)(t)$ dall'equazione $U(t, mathbf(x)(t))="costante"$.
A questo (tra le altre cose) serve un integrale primo.
Ricorda: quando un matematico ti chiede "Che significa?" vuole (il più delle volte) dire "Qual è la definizione?".
Se hai un sistema di ODE del primo ordine in forma normale $mathbf(x)^\prime (t) = mathbf(f)(t, mathbf(x)(t))$ definito in un aperto $Omega sube RR^(1+n)$, si chiama integrale primo del sistema ogni funzione $U:Omega -> RR$ tale che per ogni soluzione $mathbf(x):I -> RR^n$ del sistema risulti $U(t,mathbf(x)(t)) = "costante"$ in $I$.
È chiaro che se conosci il valore della $"costante"$, puoi pensare di ricavare $mathbf(x)(t)$ dall'equazione $U(t, mathbf(x)(t))="costante"$.
A questo (tra le altre cose) serve un integrale primo.
ok grazie
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