Sistema equazioni differenziali

[Sossella1]

Buonasera a tutti,
mi ritrovo con il problema che vi elenco sotto:
$ { ( y' = 2y+x ),( x' = 2x+y ):} $
io l'ho risolto così:
Trovo gli autovalori calcolando il determinante di $ | ( 1-lambda , 2 ),( 2 , 1-lambda ) | $ ottenendo $ lambda_1 = 3 $ e $ lambda_2 = -1 $
Gli autovettori sono $ (1,1) $ e $ (1,-1) $
Trovo, infine:
$ ( ( 1 , 1 ),( 1 , -1 ) ) *( ( e^(3t) , 0 ),( 0 , e^(-t) ) ) * ((c_1),(c_2)) = c_1e^(3t)-c_2e^(-t) $
Può essere corretto?
Se poi ho un problema di Cauchy del tipo $ x(0)=1 $ e $ y(0)=1 $ come faccio?

Grazie mille a tutti!

[Ernesto011]

Non può essere corretto.
Come soluzione mi aspetto $x(t)=...$,
$y(t)=...$.
Hai sicuramente sbagliato la moltiplicazione fra matrici, doveva venir fuori un vettore colonna di 2 componenti, non capisco come mai ti venga uno scalare

[anto_zoolander]

Nota anche che il sistema è equivalente a

${(x=y’-2y),(y’’-4y’+3y=0):}$

E $y’’-4y’+3y=0$ non è nemmeno difficile da risolvere

[pilloeffe]

Ciao Sossella,

Se gli autovettori sono quelli che hai trovato, la soluzione mi pare semplicemente

$[[y(t)],[x(t)]] = c_1 e^{3t} [[1],[1]] + c_2 e^{-t} [[1],[-1]] $

ovvero

$ \{(y(t) = c_1 e^{3t} + c_2 e^{-t}),(x(t) = c_1 e^{3t} - c_2 e^{-t}):}$

[Sossella1]

"pilloeffe":Ciao Sossella,

Se gli autovettori sono quelli che hai trovato, la soluzione mi pare semplicemente

$[[y(t)],[x(t)]] = c_1 e^{3t} [[1],[1]] + c_2 e^{-t} [[1],[-1]] $

ovvero

$ \{(y(t) = c_1 e^{3t} + c_2 e^{-t}),(x(t) = c_1 e^{3t} - c_2 e^{-t}):}$

Sì, grazie, ho fatto una cavolata

[Sossella1]

"anto_zoolander":Nota anche che il sistema è equivalente a

${(x=y’-2y),(y’’-4y’+3y=0):}$

E $y’’-4y’+3y=0$ non è nemmeno difficile da risolvere

Hai ragione, penso volesse dire proprio questo come "altro metodo per risolvere il sistema differenziale"! Grazie mille!