Sistema differenziale
stavo affrontando questo esercizio:
considerato il sistema $x'(t)=x(t)\phi(y(t)), y'(t)=y(t)\phi(x(t))$ con $\phi \in C^1(R)$ e $x,y: I \to R$, mostrare che se esiste un $t_0$ tale per cui $x(t_0)=y(t_0)$allora $x=y$ su tutto $I$.
l'idea che avevo era di considerare le due equazioni come due problemi di cauchy separati e utilizzare il fatto cheche $x'(t_0)=y'(t_0)$ ma non riesco a scriverlo
considerato il sistema $x'(t)=x(t)\phi(y(t)), y'(t)=y(t)\phi(x(t))$ con $\phi \in C^1(R)$ e $x,y: I \to R$, mostrare che se esiste un $t_0$ tale per cui $x(t_0)=y(t_0)$allora $x=y$ su tutto $I$.
l'idea che avevo era di considerare le due equazioni come due problemi di cauchy separati e utilizzare il fatto cheche $x'(t_0)=y'(t_0)$ ma non riesco a scriverlo
Risposte
@Galager $x'(t,y(t))$ e $y'(t,x(t))$
Così, di primo acchito mi verrebbe da pensare al teorema di Dini
Così, di primo acchito mi verrebbe da pensare al teorema di Dini
Io invece sento puzza di lemma di Gronwall (o profumo, secondo i gusti). Da applicarsi alla differenza \(z(t)=x(t)-y(t)\).
qualcosa del genere? posto $I=[a,b], z'(t)<=s up_I(\phi)z(t)$ quindi $z(t)<=(x(a)-y(a))e^(s up(\phi)(t-a))$ e poi bo..
oppure risolvendo solo nel futuro $z(t)<=0e^(s up(\phi)(t-t_0))=0$
oppure risolvendo solo nel futuro $z(t)<=0e^(s up(\phi)(t-t_0))=0$
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