Sistema di funzioni implicite

[thiezar87]

Ho da sottoporvi un altro problema che riguarda le funzioni implicite.

Devo verificare che il sistema
$ { ( sin^2(x-1)-y e^{y^2}+cos(3z)-1=0 ),( ln(1+z)-2 sin(y)+x-1=0 ):} $
definisce univocamente $ x=x(z) $ e $ y=y(z) $ in un intorno del punto $(1,0,0)$. Per queste funzioni scrivere lo sviluppo di Taylor in un intorno di $z=0$ arrestato al 2° ordine.

Procedo così:
Scrivo lo sviluppo di Taylor al secondo ordine tenendo conto che
$ sen^2(x-1)=(x-1)^2+o(?) $
$ e^{y^2}=y^2+1+o(?) $
$ cos(3z)=1-9z^2/2 +o(?)$
$ ln(1+z)=z-z^2/2+o(?) $
$ sen(y)=y+o(?) $

(non so assolutamente come gestire gli o piccoli)

quindi il sistema diventa
$ { ( (x-1)^2-y+y^3+1-9z^2/2-1+o(?)=0 ),( z-z^2/2-2y+x-1=0 ):} $

la jacobiana è data da $ J(x,y,z)=( ( 2x-2 , 3y^2-1 , -9z ),( 1 , -2 , 1-z ) ) $ che nel punto $ (1,0,0) $ diventa $ J(1,0,0)=( ( 0 , -1 , 0 ),( 1 , -2 , 1 ) ) $ .
E ora? non ho una colonna nulla. Immagino che è possibile ridurre la matrice eliminando la terza colonna (che è uguale alla prima) affermando che è possibile esplicitare x e y in funzione di z così come richiede la traccia.

[thiezar87]

Proprio nessuno che possa darmi un aiutino?