Sistema di equazioni (per eserc. numeri complessi)
Ciao ragazzuoli...
è tanto tempo che non mi faccio sentire....
dunque vi volevo chiedere una cosa che probabilmente sarà per la maggior parte delle persone che girano su questo forum una cavolata, ed in teoria dovrebbe esserlo anche per me, ma non so se perchè non mi capita da tanto un sistema lineare simile o perchè i gradi delle equazioni sono molto alti, fatto stà che non mi raccapezzo piu...non riesco ad isolare (o mi perdo mentre lo faccio) una variabile per poi ottenere l'altra per sostituzione...
A SISTEMA $x^4+y^4 - 6x^2y^2 + 3x^2 - 3y^2 + 3 = 0$ con $4x^3y - 4xy^3 + 6xy = 0$
come posso cominciare per isolare una variabile e non ritrovarmi con 2000 numeri?? diciamo il modo piu veloce (per quanto lo possa essere..
)
grazie in aticipo a chi risponderà...
è tanto tempo che non mi faccio sentire....
dunque vi volevo chiedere una cosa che probabilmente sarà per la maggior parte delle persone che girano su questo forum una cavolata, ed in teoria dovrebbe esserlo anche per me, ma non so se perchè non mi capita da tanto un sistema lineare simile o perchè i gradi delle equazioni sono molto alti, fatto stà che non mi raccapezzo piu...non riesco ad isolare (o mi perdo mentre lo faccio) una variabile per poi ottenere l'altra per sostituzione...
A SISTEMA $x^4+y^4 - 6x^2y^2 + 3x^2 - 3y^2 + 3 = 0$ con $4x^3y - 4xy^3 + 6xy = 0$
come posso cominciare per isolare una variabile e non ritrovarmi con 2000 numeri?? diciamo il modo piu veloce (per quanto lo possa essere..
)grazie in aticipo a chi risponderà...
Risposte
Dalla seconda ricavi $2xy(2x^2-2y^2+3)=0$, quindi puoi distinguere i tre casi: $x=0$, $y=0$ e $2x^2-2y^2+3=0$.
Per i primi due, sostituisci nella prima equazione e vedi cosa vien fuori (sono equazioni biquadratiche che si risolvono facile); nel terzo caso ricava $x^2$ e sostituisci nella prima equazione (dovrebbe uscir fuori ancora una biquadratica...).
Si tratta di fare un po' di conti, nulla più.
Per i primi due, sostituisci nella prima equazione e vedi cosa vien fuori (sono equazioni biquadratiche che si risolvono facile); nel terzo caso ricava $x^2$ e sostituisci nella prima equazione (dovrebbe uscir fuori ancora una biquadratica...).
Si tratta di fare un po' di conti, nulla più.
ok...so che è facile...
è solo un po "imbiccioso" xD
grazie gugo...sempre chiaro e conciso (oddio conciso nn sempre...ma chiaro si ...ahahahahahahahah)
PS. cmq il problema che ti accenavo sui numeri complessi ovviamente nn è questo...ci mancherebbe...
ciao e grazie ancora =)
è solo un po "imbiccioso" xD
grazie gugo...sempre chiaro e conciso (oddio conciso nn sempre...ma chiaro si ...ahahahahahahahah)
PS. cmq il problema che ti accenavo sui numeri complessi ovviamente nn è questo...ci mancherebbe...
ciao e grazie ancora =)
Per una mia curiosità personale: da cosa veniva fuori il sistema? (anche se una mezza idea ce l'avrei!)
$(z^2+1)^2+(z^2+1)+1=0$ con z=x+iy 
Eccolo là! Per la serie, come complicarsi la vita! 
Se poni $w=z^2+1$ ottieni l'equazione
$w^2+w+1=0$
le cui radici sono $w_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$. A questo punto ti sei ridotto alle due equazioni, molto più semplici,
$z^2=-\frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $z^2=-\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Se poni $w=z^2+1$ ottieni l'equazione$w^2+w+1=0$
le cui radici sono $w_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$. A questo punto ti sei ridotto alle due equazioni, molto più semplici,
$z^2=-\frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ e $z^2=-\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
gia notato....
cosi l'ho risolto l'esericizio...ma ho voluto provare anche l'altra forma nel caso in cui mi sarei trovato di fronte ad un sistema del genere (nella condizione in cui non si poteva fare nessuna posizione)...cmq grazie per l'interessamento...
ma a me serviva proprio quella forma ciao ciao.
cosi l'ho risolto l'esericizio...ma ho voluto provare anche l'altra forma nel caso in cui mi sarei trovato di fronte ad un sistema del genere (nella condizione in cui non si poteva fare nessuna posizione)...cmq grazie per l'interessamento...
ma a me serviva proprio quella forma
ciao ciao.
CIAO
spero che questo intervento non sia considerato un "up" dato che non attendevo risposte da nessuno ma avevo gia risolto i miei precedenti dubbi...è da considerare come una nuova domanda ma dato che è attinente - poichè è lo stesso esercizio - mi sembra stupido riformularne un altra....in ogni caso
se cosi fosse considerato eviterò per le prossime volte.
ad ogni modo...
l'esercizio era il seguente $(z^2+1)^2 + (z^2+1)+1=0$
abbiamo detto che è risolvibile ponendo $z^2+1=w$ ma anche considerando $z=x+iy$ e sviluppando
ora a me serve questo procedimento per cui si ha secondo i miei passaggi (posto solo quelli importanti):
$((x+iy)^2+1)^2 + ((x+iy)^2+1) + 1 = 0$
da cui attraverso vari passaggi si giunge a :
$x^4 + y^4 -6x^2y^2 + 3x^2 -3y^2 + 3 +i(4x^3y -4xy^3 +6xy)= 0$
per porre questa espressione uguale a 0 vuol dire che sia la parte reale che quella immaginaria devono essere poste uguale a zero contemporaneamente e quindi a sistema:
A SISTEMA: $x^4 + y^4 -6x^2y^2 + 3x^2 -3y^2 + 3=0$ con $i(4x^3y -4xy^3 +6xy)= 0$
nella seconda equazione mettiamo in evidenza 2xy cosi possiamo distinguere 3 casi, ovvero: quando $x=0$, quando $y=0$ e quando $2x^2-2y^2+3=0$
per cui troveremo 3 sistemi di questo tipo:
1) $y^4-3y^2 + 3=0$ con $x=0$ dove pongo $y^2=t$ ----> $t_1;2 = (3+-sqrt(9-12))/2$
2) $x^4+3x^2 +3=0$ con $y=0$ dove pongo $x^2=s$ ----> $s_1;2 = (-3+-sqrt(9-12))/2$
3) $x^4 + y^4 -6x^2y^2 + 3x^2 -3y^2 + 3=0$ con $2x^2-2y^2+3=0$
ora la mia domanda è:
quando nei sistemi normalmente il DELTA era >0 trovavo la x (o y) e quindi il numero (o i numeri se vi era piu di una x per ogni y e viceversa) complesso: ad esempio se alla fine avevo che per y=0 avevo x=4;6 allora i nuemri complessi erano A=4+i0=4 e B=6+i0=6
adesso invece il delta è negativo quindi il mio quesito è..il sistema va trattato come se stessi operando nel campo reale e dunque i primi due sistemi sarebbero impossibili, non genererebbero soluzioni (non credo comunque...) o devo svilupparli prendendo in considerazione il fatto che opero in campo complesso??
se opero in campo complesso allora avrò una $i$ nel sistema...ma la nostra prof ci ha dato sempre esercizi in cui nn compariva nel sistema...il delta era positivo e alla fine del sistema si ottenevano i valori di x e y e quindi al valore di y si anteponeva la i...ma adesso la i compare gia dal sistema...
inotre come se nn bastasse mi fa ancora piu inorridire il fatto che (ammettendo che possa comparire la i dovendo cercare la y che è la parte immaginaria) mi esce la i anche quando nel secondo sistema devo cercare i valori di x (con y=0)!!! allora che numero reale è se compare la i della parte immaginaria???
vi prego aiutatemi...non ci sto a capire piu nulla!!!
ciao e grazie
spero che questo intervento non sia considerato un "up" dato che non attendevo risposte da nessuno ma avevo gia risolto i miei precedenti dubbi...è da considerare come una nuova domanda ma dato che è attinente - poichè è lo stesso esercizio - mi sembra stupido riformularne un altra....in ogni caso
se cosi fosse considerato eviterò per le prossime volte.
ad ogni modo...
l'esercizio era il seguente $(z^2+1)^2 + (z^2+1)+1=0$
abbiamo detto che è risolvibile ponendo $z^2+1=w$ ma anche considerando $z=x+iy$ e sviluppando
ora a me serve questo procedimento per cui si ha secondo i miei passaggi (posto solo quelli importanti):
$((x+iy)^2+1)^2 + ((x+iy)^2+1) + 1 = 0$
da cui attraverso vari passaggi si giunge a :
$x^4 + y^4 -6x^2y^2 + 3x^2 -3y^2 + 3 +i(4x^3y -4xy^3 +6xy)= 0$
per porre questa espressione uguale a 0 vuol dire che sia la parte reale che quella immaginaria devono essere poste uguale a zero contemporaneamente e quindi a sistema:
A SISTEMA: $x^4 + y^4 -6x^2y^2 + 3x^2 -3y^2 + 3=0$ con $i(4x^3y -4xy^3 +6xy)= 0$
nella seconda equazione mettiamo in evidenza 2xy cosi possiamo distinguere 3 casi, ovvero: quando $x=0$, quando $y=0$ e quando $2x^2-2y^2+3=0$
per cui troveremo 3 sistemi di questo tipo:
1) $y^4-3y^2 + 3=0$ con $x=0$ dove pongo $y^2=t$ ----> $t_1;2 = (3+-sqrt(9-12))/2$
2) $x^4+3x^2 +3=0$ con $y=0$ dove pongo $x^2=s$ ----> $s_1;2 = (-3+-sqrt(9-12))/2$
3) $x^4 + y^4 -6x^2y^2 + 3x^2 -3y^2 + 3=0$ con $2x^2-2y^2+3=0$
ora la mia domanda è:
quando nei sistemi normalmente il DELTA era >0 trovavo la x (o y) e quindi il numero (o i numeri se vi era piu di una x per ogni y e viceversa) complesso: ad esempio se alla fine avevo che per y=0 avevo x=4;6 allora i nuemri complessi erano A=4+i0=4 e B=6+i0=6
adesso invece il delta è negativo quindi il mio quesito è..il sistema va trattato come se stessi operando nel campo reale e dunque i primi due sistemi sarebbero impossibili, non genererebbero soluzioni (non credo comunque...) o devo svilupparli prendendo in considerazione il fatto che opero in campo complesso??
se opero in campo complesso allora avrò una $i$ nel sistema...ma la nostra prof ci ha dato sempre esercizi in cui nn compariva nel sistema...il delta era positivo e alla fine del sistema si ottenevano i valori di x e y e quindi al valore di y si anteponeva la i...ma adesso la i compare gia dal sistema...
inotre come se nn bastasse mi fa ancora piu inorridire il fatto che (ammettendo che possa comparire la i dovendo cercare la y che è la parte immaginaria) mi esce la i anche quando nel secondo sistema devo cercare i valori di x (con y=0)!!! allora che numero reale è se compare la i della parte immaginaria???
vi prego aiutatemi...non ci sto a capire piu nulla!!!
ciao e grazie
Ciao,
non credo di capire bene: quando scrivi $z=x+iy$ i numeri $x$ e $y$ sono reali. Quindi o li trovi reali o niente
non credo di capire bene: quando scrivi $z=x+iy$ i numeri $x$ e $y$ sono reali. Quindi o li trovi reali o niente
quindi da cio devo dedurre...(almeno spero di non fare figuracce)
che essendo $x$ e $y$ numeri reali (del complesso) e dovendo essere per forza tali, se compare la $i$ vuol dire che il sistema ( e quindi i primi due) è impossibile?? allora in teoria il terzo sistema dovrebbe contenere tutte le soluzioni (sperando che le abbia...altrimenti sono punto e daccapo) della equazione complessa??
che essendo $x$ e $y$ numeri reali (del complesso) e dovendo essere per forza tali, se compare la $i$ vuol dire che il sistema ( e quindi i primi due) è impossibile?? allora in teoria il terzo sistema dovrebbe contenere tutte le soluzioni (sperando che le abbia...altrimenti sono punto e daccapo) della equazione complessa??
"mikelozzo":Esatto. Ma non preoccuparti, il terzo sistema deve avere soluzioni, perché stai cercando le radici di un polinomio in $CC$, che è algebricamente chiuso, quindi devi trovare tante soluzioni (contate con molteplicità) quant'è il grado del polinomio (in questo caso 4).
quindi da cio devo dedurre...(almeno spero di non fare figuracce)
che essendo $x$ e $y$ numeri reali (del complesso) e dovendo essere per forza tali, se compare la $i$ vuol dire che il sistema ( e quindi i primi due) è impossibile?? allora in teoria il terzo sistema dovrebbe contenere tutte le soluzioni (sperando che le abbia...altrimenti sono punto e daccapo) della equazione complessa??
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