Sistema di equazioni in due variabili:
Ho tale sistema:
$2xy^2-4xy-3x^2y=0$
$2x^2y-2x^2-x^3=0$
da cui ho:
$xy(2y-4-3x)=0$
$2x^2y-2x^2-x^3=0$
poi:
$xy=0 $
$2x^2y-2x^2-x^3=0 $ unito
$ y=(3x+4)/2$
$ 2x^2y-2x^2-x^3=0$
Ottengo come soluzioni:
$(0,0) , (0,2) , (-1,1/2) $ dov'è che sbaglio?
$2xy^2-4xy-3x^2y=0$
$2x^2y-2x^2-x^3=0$
da cui ho:
$xy(2y-4-3x)=0$
$2x^2y-2x^2-x^3=0$
poi:
$xy=0 $
$2x^2y-2x^2-x^3=0 $ unito
$ y=(3x+4)/2$
$ 2x^2y-2x^2-x^3=0$
Ottengo come soluzioni:
$(0,0) , (0,2) , (-1,1/2) $ dov'è che sbaglio?
Risposte
"Roslyn":
poi:
$ xy=0 $
$ 2x^2y-2x^2-x^3=0 $
Che, a sua volta, si divide nell'unione di due sottocasi
${(x=0),(...):}$
per la quale la seconda equazione è sempre soddisfatta per qualsiasi $y$. In questo caso c'è l'intero asse delle ordinate come soluzione (tra cui anche l'origine).
${(y=0),(...):}$
che, però, oltre a $(0,0)$, dà anche $(-2,0)$ se non ho sbagliato i calcoli.
EDIT
Ho corretto una svista e... saluto gio73.
D'accordo con Zero, hi my dear friend,
lo vedrei così
$xy(2y-4-3x)=0$
$x^2(2y-2-x)=0$
e trovo che per $x=0$ le due equazioni si annullano sempre e di conseguenza come punti critici non vedo solo l'origine, ma tutto l'asse delle ordinate. Poi c'è anche $P(-2;0)$, come ha detto zero
puoi mostrarci tutto l'esercizio?
hi my dear friend,"Roslyn":
Ho tale sistema:
$2xy^2-4xy-3x^2y=0$
$2x^2y-2x^2-x^3=0$
lo vedrei così
$xy(2y-4-3x)=0$
$x^2(2y-2-x)=0$
e trovo che per $x=0$ le due equazioni si annullano sempre e di conseguenza come punti critici non vedo solo l'origine, ma tutto l'asse delle ordinate. Poi c'è anche $P(-2;0)$, come ha detto zero
puoi mostrarci tutto l'esercizio?
Certo. Dovevo trovare i punti critici della seguente funzione:
$f(x,y)= x^2y(y-2-x)$ e ho posto le componenti del gradiente =0 .
$f(x,y)= x^2y(y-2-x)$ e ho posto le componenti del gradiente =0 .
Per determinare la natura dei punti critici, consiglio lo studio del segno.
La matrice Hessiana non è più semplice?
Per me no, ma tu procedi come ti sembra più opportuno.
Gio73 , classificato i punti critici della funzione. Mi resta solo da classificare la retta $x=0$. Procendo con lo studio del segno di una derivata parziale:
$x^2(2y-2-x)> 0$ quindi$ y>(x+2)/2$ ho disegnato la retta , e trovo che la retta $x=0$, è una retta di massimi locali per $y>1$ e di minimi locali per $y<1$. è giusto?
$x^2(2y-2-x)> 0$ quindi$ y>(x+2)/2$ ho disegnato la retta , e trovo che la retta $x=0$, è una retta di massimi locali per $y>1$ e di minimi locali per $y<1$. è giusto?
A me viene
$P(-2;0)$ e $Q(0;2)$ nè di massimo, nè di minimo
l'asse delle ordinate con $y>2$ costituita da punti di minimo
la semiretta opposta, punti di massimo
A Zero l'ardua sentenza
$P(-2;0)$ e $Q(0;2)$ nè di massimo, nè di minimo
l'asse delle ordinate con $y>2$ costituita da punti di minimo
la semiretta opposta, punti di massimo
A Zero l'ardua sentenza
"gio73":
A Zero l'ardua sentenza
Va beh, non esageriamo.
In questo caso (vengo dall'altra discussione), mi affiderei ai segni della funzione come credo ha fatto gio73. Fortunatamente per $x=0$ abbiamo $f(x,y)=0$ dunque si può vedere se a destra dell'asse $y$ è positiva e a sinistra è negativa (o viceversa o una situazione intermedia).
Se, ad es., a destra è positiva e a sinistra pure, vuol dire che quel pezzo di asse dove capita una cosa del genere è un minimo relativo (dal momento che la funzione è nulla).
Ora, $f(x,y)=x^2y(y-2-x)$ in cui $x^2$ lo tralascio perché non influisce il segno complessivo.
Per gli altri termini ho (per la positività)
- $y>0$
- $y-2-x>0$, $y>x+2$ che è una zona di piano sopra ad una retta.
Questo è un sistema di disequazioni la cui soluzione - l'ho fatto carta e penna, sto pc è troppo vecchio per istallare componenti aggiuntive... - mi viene che
- per $y>2$ la funzione a destra e sinistra dell'asse $y$ è positiva quindi l'asse $y$ (con $y>2$) è un luogo di minimi
- il punto $(0,2)$ va analizzato a parte, se non erro l'avete fatto
- nell'asse $y$ tra l'origine e $(0,2)$ la funzione è negativa a destra e sinistra dell'asse $y$, quindi è un pezzetto di massimi
- l'origine è a parte, come per $(0,2)$
- l'asse $y$ al di sotto dell'origine è un luogo di minimi, per la stessa cosa detta per $y>2$.
Ripeto che con un disegno sarebbe tutto su facile, ma con questo ferrovecchio è già tanto che ce la faccio a venire sul forum.
Innanzitutto ringrazio davvero tante te e gio per le risposte. Ma avrei un ulteriore dubbio: per il segno devo studiare la funzione ? non la derivata parziale?
Guarda, ti illustro il ragionamento che ho seguito: vale solo in pochi casi. 
Allora, la premessa fondamentale - quando ci abbandona l'Hessiano! - è che lungo la retta dei punti critici $f(x,y)=0$.
Una volta fatta questa premessa prendo il segno della funzione e vedo come si comporta la funzione stessa nei dintorni di quella retta. Se ci sono zone dove, da una parte è positiva e dall'altra è negativa (o viceversa), trattasi di selle, cioè di punti né di massimo né di minimo. Se ci sono zone dove da ambo le parti è positiva - intendo sempre, varcata la retta incriminata! - vuol dire che la retta, ristretta a tali zone è di minimo (poiché lì, la $f$ si annulla). Viceversa, se ci sono zone dove da ambo le parti è negativa, vuol dire che nei tratti di retta compresi in quelle zone, ci saranno dei massimi.
Credo che gio73 abbia usato un ragionamento simile a questo poiché si riferiva al segno della funzione. Purtroppo questo metodo richiede condizioni piuttosto ristrette perché può capitare una retta su cui l'Hessiano è nullo e in cui $f(x,y) \ne 0$ per cui il segno della funzione non servirebbe a granché.
In quel caso, così su due piedi, non saprei a che ramo aggrapparmi anche se, magari, pensandoci su mi verrebbe in mente qualcosa (almeno credo...!).
Allora, la premessa fondamentale - quando ci abbandona l'Hessiano! - è che lungo la retta dei punti critici $f(x,y)=0$.
Una volta fatta questa premessa prendo il segno della funzione e vedo come si comporta la funzione stessa nei dintorni di quella retta. Se ci sono zone dove, da una parte è positiva e dall'altra è negativa (o viceversa), trattasi di selle, cioè di punti né di massimo né di minimo. Se ci sono zone dove da ambo le parti è positiva - intendo sempre, varcata la retta incriminata! - vuol dire che la retta, ristretta a tali zone è di minimo (poiché lì, la $f$ si annulla). Viceversa, se ci sono zone dove da ambo le parti è negativa, vuol dire che nei tratti di retta compresi in quelle zone, ci saranno dei massimi.
Credo che gio73 abbia usato un ragionamento simile a questo poiché si riferiva al segno della funzione. Purtroppo questo metodo richiede condizioni piuttosto ristrette perché può capitare una retta su cui l'Hessiano è nullo e in cui $f(x,y) \ne 0$ per cui il segno della funzione non servirebbe a granché.
In quel caso, così su due piedi, non saprei a che ramo aggrapparmi anche se, magari, pensandoci su mi verrebbe in mente qualcosa (almeno credo...!).
Perchè f(x,y) sulla retta dei punti stazionari deve essere necessariamente zero per procedere nel modo da te descritto?
Perché questo espediente si basa proprio sui cambiamenti di segno della funzione principale.
Se non valesse zero lungo quell'asse, ma un numero a caso oppure cambiasse continuamente valore, non mi servirebbe a nulla - per quel fine intendo - sapere il segno della funzione. Invece, siccome in quell'asse o in quella retta che sia ho anche che la $f$ si annulla, sapere dove è positiva e negativa mi dà indicazioni sul fatto che sia massimo o minimo.
Dove "intorno" è positiva, allora sarà un minimo perché "lì" è nulla mentre dove "intorno" è negativa, allora sarà un massimo. Se cambia segno attraversando quella retta, vuol dire che non è né massimo né minimo.
Ho messo le virgolette perché i termini sono un po' da caffè e andrebbero formalizzati meglio. Come disse poc'anzi riguardo a me, ripeto "a gio73 l'ardua sentenza".
Se non valesse zero lungo quell'asse, ma un numero a caso oppure cambiasse continuamente valore, non mi servirebbe a nulla - per quel fine intendo - sapere il segno della funzione. Invece, siccome in quell'asse o in quella retta che sia ho anche che la $f$ si annulla, sapere dove è positiva e negativa mi dà indicazioni sul fatto che sia massimo o minimo.
Dove "intorno" è positiva, allora sarà un minimo perché "lì" è nulla mentre dove "intorno" è negativa, allora sarà un massimo. Se cambia segno attraversando quella retta, vuol dire che non è né massimo né minimo.
Ho messo le virgolette perché i termini sono un po' da caffè e andrebbero formalizzati meglio. Come disse poc'anzi riguardo a me, ripeto "a gio73 l'ardua sentenza".
Ottimo! ottimo davvero !!!! e se f(x,y)è diverso da 0? come faccio? studio la derivata parziale?
"Roslyn":
Ottimo! ottimo davvero !!!! e se f(x,y)è diverso da 0? come faccio? studio la derivata parziale?
Se capita una retta dove $f(x,y)\ne 0$ e l'hessiano è sempre nullo... sinceramente - magari sarà l'ora - non saprei.
Come detto, in qusto caso, non saprei a che ramo aggrapparmi: magari di fronte ad un esempio concreto specifico mi verrebbe in mente qualcosa ma così su due piedi non saprei.
Non vedo da un po' queste cose e potrei dire cose sbagliate ma se \(f(x,y)=c\) sulla retta considerata allora ti basta sottrarre \(c\) alla funzione. La nuova funzione ha lo stesso gradiente ed hessiano (se l'ora non mi inganna).
"vict85":
Non vedo da un po' queste cose e potrei dire cose sbagliate ma se \(f(x,y)=c\) sulla retta considerata allora ti basta sottrarre \(c\) alla funzione. La nuova funzione ha lo stesso gradiente ed hessiano (se l'ora non mi inganna).
Non avevo dato questa risposta per il semplice fatto che, magari, introducendo una costante nuova, la funzione diventa più difficile da scomporre oppure non si riesce più a scomporre con metodi agevoli.
Questo problema, ovviamente, non si presenta se $y$ e $x$ non superano il secondo grado - se non erro ci si può sempre ricondurre a una qualche conica per manipolarla ed avere informazioni sul segno - ma se andiamo con almeno una al terzo grado e non si trova un divisore...
Per questo non avevo esposto questo metodo: poi, magari, finisce anche che mi sono fatto problemi inutili, questo non lo so.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo