Sistema di equazioni differenziali

[bius88]

Salve a tutti,
sto facendo un esercizio con il seguente sistema:$\{(dot x = 2y),(dot y = 2x+4y):}$
ho determinato gli autovalori della matrice associata al sistema:
$((0,2),(2,4))$ $rArr$ $((-\lambda,2),(2,4-\lambda))= -\lambda(4-\lambda)-4 rArr (\lambda)^2-4\lambda-4=0 rArr \lambda_(1,2)=\frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2\pm2\sqrt(2)$

ora devo trovare gli autovettori della matrice associata al sistema ma non so come devo fare...
ho provato a sostituire i valori di $\lambda_(1,2)$ nella matrice:

$((-2+2sqrt(2),2),(2,2+2sqrt(2)))$ $((u_1),(u_2))$ $\rArr$ $\{((-2+2sqrt(2))u_1 +2u_2=0),(2u_1+(2+2sqrt(2))u_2 =0):}$ da qui però arrivo a conclusione che $u_1=0; u_2=0$
ho sbagliato?
io so che gli autovettori devono essere $\bar u=((1),(1+sqrt(2)))$ e $\bar v=((1),(1-sqrt(2)))$

Grazie 1000!!

[amel3]

"bius88":
ho provato a sostituire i valori di $\lambda_(1,2)$ nella matrice:

Argh, no la matrice lasciala così com'è...
Semmai dovrai scrivere
$A ((u_1),(u_2))= \lambda ((u_1),(u_2))$,
no?

[bius88]

$((0,2),(2,4)) ((u_1),(u_2))= \lambda((u_1),(u_2))$

$\{(2u_1=\lambdau_1),(2u_1+4u_2= \lambdau_1 +\lambda u_2):}rArr \{(2u_1=(2+2sqrt(2))u_1),(2u_1+4u_2=(2+2sqrt(2))u_1 +(2+2sqrt(2))u_2):}$

$u_1$ ed $u_2$ mi escono sempre $0$!
dove saglio?

[ViciousGoblin]

"bius88":$((0,2),(2,4)) ((u_1),(u_2))= \lambda((u_1),(u_2))$

$\{(2u_1=\lambdau_1),(2u_1+4u_2= \lambdau_1 +\lambda u_2):}rArr \{(2u_1=(2+2sqrt(2))u_1),(2u_1+4u_2=(2+2sqrt(2))u_1 +(2+2sqrt(2))u_2):}$

$u_1$ ed $u_2$ mi escono sempre $0$!
dove saglio?

Ehh no. Se $\lambda$ e' autovalore il sistema lineare non puo' avere solo la soluzione nulla. COntrolla bene.

[bius88]

lo so...continuo a scrivere i passaggi:

$\{(2u_1-2u_1-2sqrt(2)u_1=0),(2u_1+4u_2=2u_1+2sqrt(2)u_1 +2u_1+2sqrt(2)u_2):}$ $rArr$ $\{(u_1=0),(2u_2+2sqrt(2)u_2=0):}$ da cui $u_2=0$

mi dite come si dovrebbe fare?
grazie

[ViciousGoblin]

Mi pare che la prima riga del sistema sia sbagliata - a sx ci va $u_2$ non $u_1$

[bius88]

mi sa che ho sbagliato a scriverla tutta: allora avendo:
$((0,2),(2,4)) ((u_1),(u_2))= \lambda ((u_1),(u_2))$ aiutami a scrivere il sistema:

$\{(2u_2= \lambdau_1),(2u_1+4u_2=\lambdau_1+\lambdau_2):}$ ??

[ViciousGoblin]

"bius88":mi sa che ho sbagliato a scriverla tutta: allora avendo:
$((0,2),(2,4)) ((u_1),(u_2))= \lambda ((u_1),(u_2))$ aiutami a scrivere il sistema:

$\{(2u_2= \lambdau_1),(2u_1+4u_2=\lambdau_1+\lambdau_2):}$ ??

Cosi' e' giusta - ora ponendo $\lambda=2\pm2\sqrt2$ dovresti trovare dei vettori non nulli che risolvono il sistema, cioe' gli autovettori.

[bius88]

sempre $0$ e $0$. mi sa che scritta in quel modo non è corretta!
Perchè $\lambda$ nella prima equazione si moltiplica per $u_1$ e nella seconda per $u_1$ e $u_2$?

[ViciousGoblin]

Va beh, mi tocca fare i conti.

$A=((0,2),(2,4))$. Gli autovalori sono le radici di $|A-\lambda I|=0$ cioe' $\lambda^2-4\lambda-4=0$ da cui $\lambda_{1,2}=2\pm 2\sqrt2$
(questi sono giusti).
Passiamo agli a autovettori:


$Au=((0,2),(2,4))((u_1),(u_2))=\lambda ((u_1),(u_2))$ cioe' $((-\lambda u_1+2u_2),(2u_1+(4-\lambda) u_2))=0$

MI ACCORGO ORA CHE C'ERA UN ALTRO ERRORE NELLA TUA ULTIMA FORMULA Andiamo avanti, ricavando $u_2=\lambda/2 u_1$ dalla prima
riga e mettendolo nella seconda si ottiene:
$u_1(2+(4-\lambda)\lambda/2)=0$, cioe' $u_1(4+4\lambda-\lambda^2)/2=0$ e la frazione fa zero proprio perche' $\lambda$ e' una radice del numeratore.
Quindi la seconda condizione sparisce e rimane solo la prima, cioe':

$u_2=(1\pm\sqrt2)u_1$ che sono due rette.

[bius88]

"bius88":Perchè $\lambda$ nella prima equazione si moltiplica per $u_1$ e nella seconda per $u_1$ e $u_2$?

Mi sembrava strano....ora ci siamo...quindi dando valore $u_1=1$ ho che $\bar u=((1),(1+sqrt(2)))$, per l'altro valore di $\lambda$ ottengo che se $v_1=1$ ho che $\bar v=((1),(1-sqrt(2)))

OK...Ti ringrazio di cuore!

[ViciousGoblin]

"bius88":[quote="bius88"]Perchè $\lambda$ nella prima equazione si moltiplica per $u_1$ e nella seconda per $u_1$ e $u_2$?

Mi sembrava strano....ora ci siamo...quindi dando valore $u_1=1$ ho che $\bar u=((1),(1+sqrt(2)))$, per l'altro valore di $\lambda$ ottengo che se $v_1=1$ ho che $\bar v=((1),(1-sqrt(2)))

OK...Ti ringrazio di cuore![/quote]

Devo confessare che la prima volta avevo dato un'occhiata un po' fugace.

[bius88]

ora devo trovare le matrici che diagonalizzano la matrice dei coefficienti:
poichè $R^(-1)*A*R = D $ ...............($D$= matrice diagonale):

$R=((1,1),(1+sqrt(2),1-sqrt(2)))$ mentre $R^-1$ come si trova??

io ho fatto: $R^(-1)=1/(detR)((1-sqrt(2),-1),(-(1+sqrt(2)),1))$ cioè:

$R^(-1)=-1/(2sqrt(2))((1-sqrt(2),-1),(-(1+sqrt(2)),1))$ cioè:

$R^(-1)=((-(1-sqrt(2))/(2sqrt(2)),1/(2sqrt(2))),((1+sqrt(2))/(2sqrt(2)),-1/(2sqrt(2))))$

sono giuste? fatemi sapere....
Grazie!!

[bius88]

cmq credo che i segni dell'ultima matrice siano sbagliati....non mi ricordo più come si dovevano mettere..

[Camillo]

In effetti vanno cambiati i segni degli elementi di posizione $a_(12) ; a_(21)$ in quanto consideri i com'plementi algebrici e quando la somma degli indici è dispari devi cambiare segno essendo $( -1) ^(i+k)$ in tal caso $=-1$.

[bius88]

si me ne ero accorto....li ho modificati.........per il resto è corretta?
Grazie!

<< facendo così ottengo:

per $lambda=2-2sqrt(2)$:

$((-(2-2sqrt(2)),2),(2,4-(2-2sqrt(2))))$ $rArr$ $(-2+2sqrt(2))(2+2sqrt(2)) - 4=0$ $rArr$ $0=0$

per $lambda=2+2sqrt(2)$:

$((-(2+2sqrt(2)),2),(2,4-(2+2sqrt(2))))$ $rArr$ $(-2-2sqrt(2))(2-2sqrt(2)) - 4=0$ $rArr$ $0=0$

le coordinate sono $0,0$ dunque è un punto di SELLA.

Spero che sia giusto.....fatemi sapere
Grazie!

[bius88]

Se ciò che ho fatto è corretto mi mancano solo le soluzioni del sistema.....solo che qua non ho proprio idea di come iniziare!