Sistema di equazioni differenziali

[fireball-votailprof]

Risolvendo un circuito mi sono trovato davanti ad un sistema che ho difficoltà a risolvere:

${(R_1*J_4+R_2*(J_4-J_3)=V_g),(R_2*((dJ_4)/(dt)-(dJ_3)/(dt))=1/C*(J_3-J_1)),(1/C*(J_3-J_1)=4*L(d^2J_1)/(dt^2)):}$

dove:

$R_1=R_2=R_3=2 Omega$,$C=1/5F$,$L=5/24H$,$V_g(t)=u(t)V$

[Lord K]

"Andre@":Risolvendo un circuito mi sono trovato davanti ad un sistema che ho difficoltà a risolvere:

${(R_1*J_4+R_2*(J_4-J_3)=V_g),(R_2*((dJ_4)/(dt)-(dJ_3)/(dt))=1/C*(J_3-J_1)),(1/C*(J_3-J_1)=4*L(d^2J_1)/(dt^2)):}$

dove:

$R_1=R_2=R_3=2 Omega$,$C=1/5F$,$L=5/24H$,$V_g(t)=u(t)V$

Osserva che la seconda e la terza equazione possono essere scritte come:

$R_2*((dJ_4)/(dt)-(dJ_3)/(dt))=4*L(d^2J_1)/(dt^2)$

Da cui una integrazione diretta (tra $0$ e $t$) ottengo:

$R_2*J_4-R_2J_4(0)-R_2J_3 + R_2J_4(0)=4*L(dJ_1)/(dt) - 4*L*(dJ_1)/(dt)(0)$
$R_2*J_4-R_2J_3 =4*L(dJ_1)/(dt) - 4*L*(dJ_1)/(dt)(0)+R_2J_4(0)- R_2J_4(0)$

Da qui con la prima ricavi delle equazioni che ti fanno ricavare $J_3,J_4$ con $J_1$ come parametro.

[fireball-votailprof]

GRAZIE PER LA RISPOSTA.
Ma quanto valgono quelle quantità calcolate in zero?e poi..se il sistema comprende tre equazioni e tre incognite non dovrei avere tre risultati(perchè,come hai detto tu, $J_1$ deve essere parametro?)

[Lord K]

Il punto è che hai anche delle derivate di mezzo, quindi solo $3$ incognite proprio non sono... I valori in zero sono i valori iniziali delle correnti. Se il circuito era a riposo $J_3$ e $J_4$ sono nulle, altrimenti se c'era una corrente continua si possono inserire i suoi valori. Da tenere sotto osservazione la derivata di $J_1$.

Per la risoluzione finale poi ritorni al tuo sistema iniziale e provi l'inserimento delle cose così trovate. E ricavi il tutto. Non poco laborioso è tutta questa marea di conti.

[fireball-votailprof]

e se provassi a esplicitare $J_3$ dalla prima sostituendolo nelle altre due?

[Lord K]

Anche... in ogni caso prevedo una marea di conti!

[fireball-votailprof]

Si,ho capito.
In effetti col metodo dei potenziali ai nodi veniva una sola equazione da risolvere,ma il prof ci ha invitati a risolvere lo stesso esercizio con altri metodi (in questo caso correnti di maglia) preannunciandoci che ci sarebbero state più equazioni e quindi più calcoli.

[Lord K]

IMHO: Il metodo delle maglie è palesemente sempre il peggiore in fatto di quantità di equazioni e di complessità di calcolo portando quasi sempre a errori di calcolo che, seppur minimi, stravolgono il risultato finale... Ovviamente per imparare va bene anche quello