Sistema di equazioni differenziali
In un problema di meccanica razionale, mi sono ricondotto a risolvere il sistema:
${(\dot(x)(t)=-y(t)),(\dot(y)(t)=x(t)):}$
Qualche suggerimento?
${(\dot(x)(t)=-y(t)),(\dot(y)(t)=x(t)):}$
Qualche suggerimento?
Risposte
Deriva la prima equazione rispetto a $t $ e sfrutta il fatto che conosci $dot(y)(t) $ dalla seconda in funzione di $x(t)$.
Fatto, era veramente banale 
Grazie per la dritta.
Grazie per la dritta.
Un modo alternativo, interessante in Meccanica (soprattutto per lo studio della stabilità), è quello di riguardare le traiettorie del sistema come curve di livello di un integrale primo del sistema stesso.
Ricordo che una funzione $F:RR^2\to RR$ si chiama integrale primo del sistema differenziale assegnato se e solo se essa è costante lungo ogni traiettoria; in altre parole, per ogni traiettoria $(x(t),y(t))$ deve risultare:
(1) $\quad F(x(t),y(t))="costante"$.
Supponendo $F$ di classe $C^1$, derivando la (1) m.a.m. si trova:
(2) $\quad F_x*\dotx +F_y*\doty =0$
il che vuol dire che il $\nabla F(x(t),y(t))$ è ortogonale alla velocità di $(x(t),y(t))$ in ogni punto; visto che in $RR^2$ il sottospazio ortogonale a $(\dotx(t),\doty(t))$ è quello generato da $(\doty(t),-\dotx(t))$, la (2) implica:
(3) $\quad \{(F_x=\doty=x),(F_y=-\dotx=y):}$
da cui ricavi "ad occhio" $F(x,y)=1/2(x^2+y^2)$.
[N.B.: A rigore dovrei dire che ogni integrale primo del sistema è del tipo $G=\alpha*F+\beta$, con $\alpha,\beta \in RR$; però studiare delle curve di livello di $G$ equivale a determinare le curve di livello di $F$, quindi non c'è nessuna restrizione nel supporre $\alpha=1 , \beta=0$.]
Le traiettorie del sistema sono tutte e sole le curve di livello di $F$: il grafico di $F$ è un cono circolare con vertice in $(0,0)$ ed asse il semiasse delle $z$ positive, pertanto le traiettorie sono tutte circonferenze del fascio di centro $(0,0)$ (compresa quella degenere coincidente con $(0,0)$).
Ricordo che una funzione $F:RR^2\to RR$ si chiama integrale primo del sistema differenziale assegnato se e solo se essa è costante lungo ogni traiettoria; in altre parole, per ogni traiettoria $(x(t),y(t))$ deve risultare:
(1) $\quad F(x(t),y(t))="costante"$.
Supponendo $F$ di classe $C^1$, derivando la (1) m.a.m. si trova:
(2) $\quad F_x*\dotx +F_y*\doty =0$
il che vuol dire che il $\nabla F(x(t),y(t))$ è ortogonale alla velocità di $(x(t),y(t))$ in ogni punto; visto che in $RR^2$ il sottospazio ortogonale a $(\dotx(t),\doty(t))$ è quello generato da $(\doty(t),-\dotx(t))$, la (2) implica:
(3) $\quad \{(F_x=\doty=x),(F_y=-\dotx=y):}$
da cui ricavi "ad occhio" $F(x,y)=1/2(x^2+y^2)$.
[N.B.: A rigore dovrei dire che ogni integrale primo del sistema è del tipo $G=\alpha*F+\beta$, con $\alpha,\beta \in RR$; però studiare delle curve di livello di $G$ equivale a determinare le curve di livello di $F$, quindi non c'è nessuna restrizione nel supporre $\alpha=1 , \beta=0$.]
Le traiettorie del sistema sono tutte e sole le curve di livello di $F$: il grafico di $F$ è un cono circolare con vertice in $(0,0)$ ed asse il semiasse delle $z$ positive, pertanto le traiettorie sono tutte circonferenze del fascio di centro $(0,0)$ (compresa quella degenere coincidente con $(0,0)$).
Bisognerebbe abituarsi a vedere a occhio un moto circolare uniforme. 
O, almeno, a notare che ci dovrebbero essere "dietro" dei seni e coseni, viste le equazioni del sistema originario.
O, almeno, a notare che ci dovrebbero essere "dietro" dei seni e coseni, viste le equazioni del sistema originario.
Mi ero accorto che le soluzioni erano combinazione lineare di seno e coseno, ma desideravo avere un metodo formale (che voi mi avete esaurientemente fornito) su come procedere: il mio docente è molto pignolo e vuole vedere tutti i passaggi
Grazie ancora per l'aiuto.
Grazie ancora per l'aiuto.
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