Sistema di equazioni differenziali
devo risolvere questo esercizio:
considerato il sistema di equazioni
differenziali
x.=-y
y.=x-epslon*((y^3)/3 -y)
determinare
a) il sistema linearizzato nell'intorno
del punto di equilibrio
b)gli autovalori della matrice associata
al sistema linearizzato con epslon=1
CIAO Laura
considerato il sistema di equazioni
differenziali
x.=-y
y.=x-epslon*((y^3)/3 -y)
determinare
a) il sistema linearizzato nell'intorno
del punto di equilibrio
b)gli autovalori della matrice associata
al sistema linearizzato con epslon=1
CIAO Laura
Risposte
Purtroppo i tuoi quesiti superano le mie conoscenze specifiche in materia. Potrebbe però servirti la soluzione grafica della y .
Condizioni iniziali y(0) = 1 e y'(0) = 0.
Con epsilon = 0 :
Con epsilon = 1 :
Con epsilon = 2 :
Con epsilon = 3 :
S.E.e.O.
Arrigo.
Condizioni iniziali y(0) = 1 e y'(0) = 0.
Con epsilon = 0 :
Con epsilon = 1 :
Con epsilon = 2 :
Con epsilon = 3 :
S.E.e.O.
Arrigo.
il punto di equilibrio lo trovi eguagliando a 0 le derivate:
-y=0
x-e((y^2)/3 - y)=0
y=0
x=0
Quindi è l'origine.
Per linearizzare il sistema bisogna calcolare un po di derivate...
Sia f(x,y)=-y e g(x,y)=x-e((y^3)/3 - y)
il sistema è:
x' = f(x,y)
y' = g(x,y)
chiamo h=dx e q=dy gli incrementi infinitesimi. Allora:
h' = df/dx * h + df/dy * q
q' = dg/dx * h + dg/dy * q
le derivate s'intendono calcolate nel punto di equilibrio.
Facciamo i conti:
df/dx = 0
df/dy = -1
dg/dx = 1
dg/dy = e(y^2 - 1) che calcolata in (0,0) dà dg/dy = -e.
Quindi possiamo scrivere:
h' = -q
q' = h - e*q
questo è il sistema linearizzato.
La matrice del sistema con e=1 è
0 -1
1 -1
da cui puoi calcolare gli autovalori.
-y=0
x-e((y^2)/3 - y)=0
y=0
x=0
Quindi è l'origine.
Per linearizzare il sistema bisogna calcolare un po di derivate...
Sia f(x,y)=-y e g(x,y)=x-e((y^3)/3 - y)
il sistema è:
x' = f(x,y)
y' = g(x,y)
chiamo h=dx e q=dy gli incrementi infinitesimi. Allora:
h' = df/dx * h + df/dy * q
q' = dg/dx * h + dg/dy * q
le derivate s'intendono calcolate nel punto di equilibrio.
Facciamo i conti:
df/dx = 0
df/dy = -1
dg/dx = 1
dg/dy = e(y^2 - 1) che calcolata in (0,0) dà dg/dy = -e.
Quindi possiamo scrivere:
h' = -q
q' = h - e*q
questo è il sistema linearizzato.
La matrice del sistema con e=1 è
0 -1
1 -1
da cui puoi calcolare gli autovalori.
non cerco una soluzione grafica
quando ho postato ho dimenticato
di segnalare che x. ed y.
sono derivate rispetto al tempo
la soluzione e'
x.=-y ed y.=x+epslon*y
quindi cambiando notazione goblyn
per favore spiegami come ci si arriva
CIAO Laura
quando ho postato ho dimenticato
di segnalare che x. ed y.
sono derivate rispetto al tempo
la soluzione e'
x.=-y ed y.=x+epslon*y
quindi cambiando notazione goblyn
per favore spiegami come ci si arriva
CIAO Laura
quote:
quindi cambiando notazione goblyn
per favore spiegami come ci si arriva
scusami,non volevo dirti di cambiare notazione,
vorrei semplicemente capire il procedimento
visto che, a parte la notazione,
il risultato e' quello
CIAO Laura
E fare un bel sviluppo in serie di Taylor di :
((y^3)/3 -y)
in 0 troncato al termine di primo grado ?
Ciao. Arrigo.
((y^3)/3 -y)
in 0 troncato al termine di primo grado ?
Ciao. Arrigo.
Sì infatti è quello che ho fatto! Ma la domanda chiede esplicitamente il SISTEMA linearizzato e quindi l'ho scritto.
Cara Laura, chiamiamo
x = [ x ; y ] (vettore colonna)
e chiamiamo
f = [ -y ; x - e((y^3)/3 - y) ]
Allora il sistema è:
x' = f
Ora, dovresti conoscere lo sviluppo di Taylor di f:
f = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) + ...
Nel nostro caso x0 = ( 0 ; 0 ) e quindi possiamo scrivere:
f = f(0) + f'(0) * x + ...
f - f(0) = f'(0) * x + ...
df = f'(0) * dx
Io ho chiamato dx=[ h ; q ]
Stiamo linearizzando il sistema quindi trascuriamo i termini di grado superiore al primo.
Differenziamo ora il sistema:
dx' = d f
dx' = f'(0) * x
ora ricorda che f è una funzione vettoriale e la sua "derivata" è in realtà uno Jacobiano. E' cioè la matrice le cui righe sono i gradienti delle componenti di f:
f'(0) = [ 0 -1 ; 1 -e ]
Ora basta fare il prodotto scritto in rosso:
[ 0 -1 ; 1 -e ] * [ h ; q ] =
= [ -q ; h - eq ]
Ora non rimane altro che sostituire per avere il sistema linearizzato.
Cara Laura, chiamiamo
x = [ x ; y ] (vettore colonna)
e chiamiamo
f = [ -y ; x - e((y^3)/3 - y) ]
Allora il sistema è:
x' = f
Ora, dovresti conoscere lo sviluppo di Taylor di f:
f = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) + ...
Nel nostro caso x0 = ( 0 ; 0 ) e quindi possiamo scrivere:
f = f(0) + f'(0) * x + ...
f - f(0) = f'(0) * x + ...
df = f'(0) * dx
Io ho chiamato dx=[ h ; q ]
Stiamo linearizzando il sistema quindi trascuriamo i termini di grado superiore al primo.
Differenziamo ora il sistema:
dx' = d f
dx' = f'(0) * x
ora ricorda che f è una funzione vettoriale e la sua "derivata" è in realtà uno Jacobiano. E' cioè la matrice le cui righe sono i gradienti delle componenti di f:
f'(0) = [ 0 -1 ; 1 -e ]
Ora basta fare il prodotto scritto in rosso:
[ 0 -1 ; 1 -e ] * [ h ; q ] =
= [ -q ; h - eq ]
Ora non rimane altro che sostituire per avere il sistema linearizzato.
grazie goblyn
non volevo farti arrabbiare!
e' solo che nei miei appunti
c'erano punti poco chiari,
perche' e' passato molto tempo da quando
li ho visti l'ultima volta
CIAO Laura
non volevo farti arrabbiare!
e' solo che nei miei appunti
c'erano punti poco chiari,
perche' e' passato molto tempo da quando
li ho visti l'ultima volta
CIAO Laura
non mi sono arrabbiato per niente! sono qui per aiutare e imparare! a presto
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