Sistema di equazioni differenziali
Buonasera,
Sono uno studente di ingegneria magistrale. Mi trovo all'estero per l'erasmus e, dopo qualche anno dall'esame di analisi, mi trovo a dover risolvere un sistema di equazioni differenziali.
Il sistema di equazioni è il risultato di alcuni passaggi ottenuti a partire dall'espressione della seguente Lagrangiana: $ L=m/2 (dot(x)^2+dot(y)^2)+alpha /2(dot(x)y-dot(y)x)-rho _1*x^2/2-rho _2*y^2/2 $
dove $ m, alpha, rho_1$ e $rho_2 $ sono valori positivi.
Svolgendo i calcoli per trovare le equazioni del moto ottengo le due equazioni:
$ d/dt((partial L)/(partial dot(x)))- (partial L)/(partial x)=mddot(x)+alphadot(y)+rho_1x =0 $ (1)
e
$ d/dt((partial L)/(partial dot(y)))- (partial L)/(partial y)=mddot(y)-alphadot(x)+rho_2y =0 $ (2)
Dovendo determinare le espressioni di x(t) e y(t) in forma esplicita, stavo pensando di risolvere le equazioni (1) e (2) in un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee, scomponendo ogni soluzione in due termini uno relativo all'omogenea associata e l'altro relativo alla soluzione particolare. Così facendo, ho qualche problema su come calcolare la soluzione particolare.
Vorrei chiedervi se l'approccio che sto utilizzando è corretto.
Vi ringrazio per la disponibilità.
Sono uno studente di ingegneria magistrale. Mi trovo all'estero per l'erasmus e, dopo qualche anno dall'esame di analisi, mi trovo a dover risolvere un sistema di equazioni differenziali.
Il sistema di equazioni è il risultato di alcuni passaggi ottenuti a partire dall'espressione della seguente Lagrangiana: $ L=m/2 (dot(x)^2+dot(y)^2)+alpha /2(dot(x)y-dot(y)x)-rho _1*x^2/2-rho _2*y^2/2 $
dove $ m, alpha, rho_1$ e $rho_2 $ sono valori positivi.
Svolgendo i calcoli per trovare le equazioni del moto ottengo le due equazioni:
$ d/dt((partial L)/(partial dot(x)))- (partial L)/(partial x)=mddot(x)+alphadot(y)+rho_1x =0 $ (1)
e
$ d/dt((partial L)/(partial dot(y)))- (partial L)/(partial y)=mddot(y)-alphadot(x)+rho_2y =0 $ (2)
Dovendo determinare le espressioni di x(t) e y(t) in forma esplicita, stavo pensando di risolvere le equazioni (1) e (2) in un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee, scomponendo ogni soluzione in due termini uno relativo all'omogenea associata e l'altro relativo alla soluzione particolare. Così facendo, ho qualche problema su come calcolare la soluzione particolare.
Vorrei chiedervi se l'approccio che sto utilizzando è corretto.
Vi ringrazio per la disponibilità.
Risposte
Le EDO sono lineari ed omogenee, quindi la soluzione può essere calcolata ricorrendo alle solite tecniche (esponenziali di matrici diagonali) che si studiano in Analisi dei Sistemi, Automazione o Controlli.
In particolare, il tuo sistema si riscrive come sistema del primo ordine nelle quattro incognite $xi_1 = x, xi_2 = y, xi_3 = dot(x), xi_4 = dot(y)$:
$\{(dot(xi)_1 = xi_3), (dot(xi)_2 = xi_4), (dot(xi)_3 = - rho_1 xi_1 - alpha/m xi_4), (dot(xi)_4 = - rho_2 xi_2 + alpha/m xi_3):} <=> dot(mathbf(xi)) = ((0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (- rho_1, 0, 0, -alpha/m), (0, -rho_2, alpha/m, 0))*mathbf(xi)$
Gli autovalori della matrice dovrebbero essere i quattro che si ottengono alternando i segni in $lambda= +- sqrt(+- sqrt((alpha^2 + m^2 rho_1 + m^2 rho_2)^2 - 4 m^4 rho_1 rho_2) - alpha^2 - m^2 rho_1 - m^2 rho_2)/(sqrt(2) m)$ (conti fatti da WolframAlpha, quindi devi controllare se hanno senso e se sono reali o immaginari e regolarti di conseguenza).
In particolare, il tuo sistema si riscrive come sistema del primo ordine nelle quattro incognite $xi_1 = x, xi_2 = y, xi_3 = dot(x), xi_4 = dot(y)$:
$\{(dot(xi)_1 = xi_3), (dot(xi)_2 = xi_4), (dot(xi)_3 = - rho_1 xi_1 - alpha/m xi_4), (dot(xi)_4 = - rho_2 xi_2 + alpha/m xi_3):} <=> dot(mathbf(xi)) = ((0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (- rho_1, 0, 0, -alpha/m), (0, -rho_2, alpha/m, 0))*mathbf(xi)$
Gli autovalori della matrice dovrebbero essere i quattro che si ottengono alternando i segni in $lambda= +- sqrt(+- sqrt((alpha^2 + m^2 rho_1 + m^2 rho_2)^2 - 4 m^4 rho_1 rho_2) - alpha^2 - m^2 rho_1 - m^2 rho_2)/(sqrt(2) m)$ (conti fatti da WolframAlpha, quindi devi controllare se hanno senso e se sono reali o immaginari e regolarti di conseguenza).
gugo82 ti ringrazio per la risposta.
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