Sistema di Equazioni Differenziali
Salve a tutti!
Nel fare alcuni esercizi mi sono imbattuto nel seguente sistema di equazioni differenziali lineari:
$ { (x'=x-4y ),( y'=x+y ):} $
L'esercizio vuole sapere la soluzione che soddisfa la condizione iniziale $ (x(0),y(0))=(0,1)$
Per svolgere l'esercizio io scrivo la matrice per trovare gli autovalori.
$ | ( 1-lambda , -4 ),( 1 , 1-lambda ) | =(1-lambda)(1-lambda)+4=lambda^2+1-2lambda+4=lambda^2-2lambda+5=0 $
Quindi:
$ lambda=1+-sqrt(1-5) $
Ossia:
$ lambda_1=1+2i $ e $ lambda_1=1-2i $
In aula non abbiamo studiato i casi con le radici complesse percé nel corso di Analisi 1 non abbiamo svolto alcun esercizio riguardo i numeri complessi, quindi il professore ce li ha fatti "saltare"... Però nel compito può uscire ugualmente.
Il prof ci ha solo detto che la soluzione sarà di questo tipo:
Se $ lambda=p+-iq $
Allora l'integrale generale sarà:
$ e^(pt)(c_1cosqt+c_2senqt,c'_1cosqt+c'_2senqt) $
Ossia:
$ { ( x(t)=e^(pt)(c_1cosqt+c_2senqt) ),( y(t)=e^(pt)(c'_1cosqt+c'_2senqt) ):} $
In questo esercizio:
$ { ( x(t)=e^t(c_1cos2t+c_2sen2t) ),( y(t)=e^t(c'_1cos2t+c'_2sen2t) ):} $
Il professore così ci ha detto, durante gli ultimi 5 minuti dell'ultima lezione una settimana fa... Però in questo modo avrei 4 incognite con due equazioni e non potrei trovare la soluzione del sistema date le condizioni iniziali.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a svolgere questo sistema con autovalori complessi?
Nel fare alcuni esercizi mi sono imbattuto nel seguente sistema di equazioni differenziali lineari:
$ { (x'=x-4y ),( y'=x+y ):} $
L'esercizio vuole sapere la soluzione che soddisfa la condizione iniziale $ (x(0),y(0))=(0,1)$
Per svolgere l'esercizio io scrivo la matrice per trovare gli autovalori.
$ | ( 1-lambda , -4 ),( 1 , 1-lambda ) | =(1-lambda)(1-lambda)+4=lambda^2+1-2lambda+4=lambda^2-2lambda+5=0 $
Quindi:
$ lambda=1+-sqrt(1-5) $
Ossia:
$ lambda_1=1+2i $ e $ lambda_1=1-2i $
In aula non abbiamo studiato i casi con le radici complesse percé nel corso di Analisi 1 non abbiamo svolto alcun esercizio riguardo i numeri complessi, quindi il professore ce li ha fatti "saltare"... Però nel compito può uscire ugualmente.
Il prof ci ha solo detto che la soluzione sarà di questo tipo:
Se $ lambda=p+-iq $
Allora l'integrale generale sarà:
$ e^(pt)(c_1cosqt+c_2senqt,c'_1cosqt+c'_2senqt) $
Ossia:
$ { ( x(t)=e^(pt)(c_1cosqt+c_2senqt) ),( y(t)=e^(pt)(c'_1cosqt+c'_2senqt) ):} $
In questo esercizio:
$ { ( x(t)=e^t(c_1cos2t+c_2sen2t) ),( y(t)=e^t(c'_1cos2t+c'_2sen2t) ):} $
Il professore così ci ha detto, durante gli ultimi 5 minuti dell'ultima lezione una settimana fa... Però in questo modo avrei 4 incognite con due equazioni e non potrei trovare la soluzione del sistema date le condizioni iniziali.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a svolgere questo sistema con autovalori complessi?
Risposte
"ImNoTaGenius":
nel corso di Analisi 1 non abbiamo svolto alcun esercizio riguardo i numeri complessi, quindi il professore ce li ha fatti "saltare"...
Sono shockato! Denunciatelo
Beh, alla fine ci ha detto solo le formule, e solo una volta xD Un po' incavolato poi ci ha detto di farceli da noi perché anche se avesse spiegato qualcosa non avremmo capito... Infatti possono uscire nel compito.
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