Sistema di equazioni differenziali

[ludwigZero]

salve.
comincio la dura impresa dello studio dei sistemi dinamici

ho questo sistema (non lineare) dinamico:

$\dot x = x - 2y + xy$

$\dot y = 2x + y - y^2$

1) vedere se il campo ad esso associato è conservativo e scriverne la lagrangiana

il campo associato è:
$f(x,y) = F(x,y) i + G(x,y) j$

dove
$F(x,y) = x - 2y + xy$
$G(x,y) = 2x + y - y^2$

condizione necessaria affinchè sia conservativo:
$(dF_x)/dy = (dG_y)/dx$

ma nei calcoli viene che:
$(dF_x)/dy = 1$
$(dG_y)/dx = 0$

quindi non conservativo.
La lagrangiana come si scrive in questo caso?
quale problema potrebbe venir fuori dal momento che è un sistema non conservativo?

2) punti di stazionarità
i punti di stazionarità li trovo ponendo $\dot x = 0$ e $\dot y = 0$

$x - 2y + xy = 0$

$2x + y - y^2 = 0$


dalla prima ricavo:
$x = 2y - xy$
la butto nella seconda:
$4y - 2xy + y -y^2 = 0$
$5y - 2xy -y^2 = 0$
$y(5-2x-y)=0$

$y=0$
e
$y=5-2x$

buttiamole nella prima eq. trovando le coordinate x
$y=0$ -> $x=0$

$x=10-4x-x(5-2x)$ da cui (se i conti son giusti....)

$5x = 10 - 5x + 2x^2$
$-2x^2 + 10x -10=0$

$x^2 - 5x + 5=0$

$x_1 = 1/2 (5 - sqrt(5))$ -> $y_1 = sqrt(5)$
$x_2 = 1/2 (5 + sqrt(5))$ -> $y_1 = -sqrt(5)$


linearizzando il sistema attorno ad un punto di equilibrio si ha:
$\dot x = x - 2y $

$\dot y = 2x + y $

cioè tolgo elementi quadratici o rettangolari

{quando si arriva qui mi mette un pò il dubbio, su alcuni pdf scovati online per 'metodo di linearizzazione' si intende semplicemente la matrice jacobiana del sistema dato (senza ''togliere'' elementi non-lineari) in altri pdf invece si parla di fare uno sviluppo in serie di taylor per linearizzarla *_*.....)

tuttavia, trovo la matrice jacobiana al sistema linearizzato:
$J(x,y) = ((1,2),(-2,1))$

se:
$J(0,0) = ((1,2),(-2,1))$

trovo che il det è positivo
mentre gli autovalori che escono dal polinomio caratteristico sono:
$(1-t)^2 + 4 = 0$
$1+t^2 -2t + 4=0$
$t^2 - 2t +5=0$

$t_1 = 1 - 2i$
$t_2 = 1 + 2i$

autovalori (parte reale) entrambi positivi, quindi l'origine è punto di equilibrio stabile.

per gli altri due punti invece credo sia opportuno guardare la matrice del sistema di partenza, che ne pensate?

[gugo82]

La condizione di conservatività (che dovresti ricordare da Analisi II) è \(F_y=G_x\). Essa non soddisfatta in quanto \(F_y=x-2\) e \(G_x=2\); quindi il campo non è conservativo.

Gli stati stazionari si ricavano dal sistema:
\[
\begin{cases}
x-2y+xy=0\\
2x+y-y^2=0
\end{cases}
\]
che importa:
\[
\begin{cases}
2x=y^2-y\\
2x-4y+2xy=0
\end{cases}
\]
e dunque, sostituendo la prima nella seconda:
\[
\begin{cases}
2x=y^2-y\\
y(y^2-5)=0
\end{cases}
\]
da cui le soluzioni \((\hat{x},\hat{y})=(0,0),\ ( \frac{1}{2} (5\pm \sqrt{5}),\pm \sqrt{5})\).

Per linearizzare, in generale, devi fare uno sviluppo di Taylor al primo ordine della funzione vettoriale che fornisce il sistema (ossia del campo \((F,G)\)) attorno ad ognuno degli stati stazionari.
Dato che:
\[
\begin{cases}
F(x,y) = F(\hat{x},\hat{y}) + F_x(\hat{x},\hat{y})\ (x-\hat{x})+ F_y(\hat{x},\hat{y})\ (y-\hat{y})\\
G(x,y) = G(\hat{x},\hat{y}) + G_x(\hat{x},\hat{y})\ (x-\hat{x})+ G_y(\hat{x},\hat{y})\ (y-\hat{y})
\end{cases}
\]
e che \(F(\hat{x},\hat{y})=0=G(\hat{x},\hat{y})\), il sistema linearizzato attorno allo stato di equilibrio \((\hat{x},\hat{y})\) è:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = F_x(\hat{x},\hat{y})\ (x-\hat{x})+ F_y(\hat{x},\hat{y})\ (y-\hat{y})\\
\dot{y} = G_x(\hat{x},\hat{y})\ (x-\hat{x})+ G_y(\hat{x},\hat{y})\ (y-\hat{y})\; .
\end{cases}
\]
Detto ciò, poiché (se non ho sbagliato i conti) hai:
\[
\begin{cases}
F_x(x,y)= y+1 \\
F_y(x,y)= x-2 \\
G_x(x,y)= 2\\
G_y(x,y)= 1-2y\; ,
\end{cases}
\]
linearizzando attorno allo stato stazionario \((\hat{x}, \hat{y})=(\frac{1}{2}(5+\sqrt{5}) , \sqrt{5}))\) trovi il sistema:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = (\sqrt{5} +1)\ \left( x-\frac{5+\sqrt{5}}{2} \right) + \frac{1+\sqrt{5}}{2}\ (y-\sqrt{5})\\
\dot{y} = 2\ \left( x-\frac{5+\sqrt{5}}{2} \right) + (1-2\sqrt{5})\ (y-\sqrt{5} )\; ;
\end{cases}
\]
la matrice associata al sistema è:
\[
\begin{pmatrix} \sqrt{5} +1 & \frac{1+\sqrt{5}}{2} \\
2 & 1-2\sqrt{5}
\end{pmatrix}
\]
ed i suoi autovalori sono reali, distinti, uno positivo ed uno negativo, uguali circa a \(-3.9\) e \(3.6\)... Lascio a te concludere.
Allo stesso modo si linearizza attorno agli altri stati.