Sistema di distribuzioni differenziali
Buonasera, sono arrivato alla parte di esercizi sulle distribuzioni ed in particolare i sistemi di equazioni differenziali in cui non si hanno più funzioni ma (appunto) distribuzioni. Per fissare le idee l'esercizio in questione è il seguente :
Facendo uso della trasformazione di Laplace, risolvere il problema :
Premetto che non ho ancora svolto l'esercizio perchè ho questo dubbio : il fatto che i funzionali \(\displaystyle T,U \in D'_+ \) mi dice soltanto che il supporto di tali distribuzioni è \(\displaystyle [0,+\infty[ \) ma non mi da altre informazioni riguardo il loro carattere. Se ho capito bene la teoria, la condizione necessaria affinchè una distribuzione sia trasformabile secondo Laplace (o secondo Fourier) è che essa deve essere limitata/temperata/a crescenza lenta giusto? In tal caso non ho nessuna informazione al riguardo. Continuando con il ragionamento allora penso che probabilmente ciò significa che questa ipotesi è da sottointendere e probabilmente sarà una condizione da imporre in seguito?
PS: non avendo assegnate delle condizioni iniziali devo portarmi dietro nella risoluzione le costanti (?) \(\displaystyle T(0),T'(0), U(0) \) ?
Facendo uso della trasformazione di Laplace, risolvere il problema :
\(\displaystyle \Bigg \{ \begin{array}{lcl} T'' + T'-U & = & \delta + u(t) \\ T' -2 U' & = & u(t) \cdot cos(t) \\ T,U \in D'_+ \end{array} \)
Premetto che non ho ancora svolto l'esercizio perchè ho questo dubbio : il fatto che i funzionali \(\displaystyle T,U \in D'_+ \) mi dice soltanto che il supporto di tali distribuzioni è \(\displaystyle [0,+\infty[ \) ma non mi da altre informazioni riguardo il loro carattere. Se ho capito bene la teoria, la condizione necessaria affinchè una distribuzione sia trasformabile secondo Laplace (o secondo Fourier) è che essa deve essere limitata/temperata/a crescenza lenta giusto? In tal caso non ho nessuna informazione al riguardo. Continuando con il ragionamento allora penso che probabilmente ciò significa che questa ipotesi è da sottointendere e probabilmente sarà una condizione da imporre in seguito?
PS: non avendo assegnate delle condizioni iniziali devo portarmi dietro nella risoluzione le costanti (?) \(\displaystyle T(0),T'(0), U(0) \) ?
Risposte
Ma non ti stare a fissare con queste quisquilie. Studi matematica? Mi ricordi me stesso, quando ho studiato queste cose. Tanto tempo passato a fare attenzione a ogni singola ipotesi, distribuzione temperata, crescita lenta, topologie deboli bla bla bla. Poi mi sono reso conto che avevo fatto tanta attenzione a queste chiacchiere che mi ero scordato di imparare la cosa veramente importante, e cioé l'uso che si fa di queste cose. Perché imparare tanta teoria se poi uno non sa usarla?
Nello specifico, inizia a fare i conti formalmente, senza preoccuparti troppo delle varie ipotesi. Se trovi una soluzione in maniera formale, poi vediamo come aggiustare i dettagli. Come si diceva in un altro post, di recente: shut up and calculate!
Nello specifico, inizia a fare i conti formalmente, senza preoccuparti troppo delle varie ipotesi. Se trovi una soluzione in maniera formale, poi vediamo come aggiustare i dettagli. Come si diceva in un altro post, di recente: shut up and calculate!
Grazie mille per la risposta, vedo di postare lo svolgimento in serata (o al massimo domani mattina). Ti ringrazio ancora per avermi dedicato un pò di tempo e spero che non mi abbandoni perchè al momento ho veramente bisogno di un aiuto
Ps: studio in ingegneria
Ps: studio in ingegneria
Dunque, inziamo trasformando secondo Laplace (nel senso delle distribuzioni) :
\(\displaystyle \mathcal{L} \{ u(t) \; cos(t) \} \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty} u(t)\;cos(t)\;e^{-st} dt = \int_{0}^{+\infty} cos(t) e^{-st} dt \)
Passando alla forma esponenziale del coseno si ha :
\(\displaystyle = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{it}\; e^{-st} dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-it}\; e^{-st} dt \)
Ricordando che \(\displaystyle s = a + ib \) allora gli esponenziali all'interno degli integrali sono una serie di seni e coseni (la parte immaginaria dell'esponenziale) che vengono modulati in ampiezza da un esponenziale del tipo \(\displaystyle e^{Re(s)} \). In questi termini, tali integrali non divergono/hanno senso se \(\displaystyle Re{s} > 0 \) , quindi imponendo tale condizione :
\(\displaystyle = - \frac{1}{2(a + i (b-1))} \left[ e^{-(a+i(b-1))t} \right]_{0}^{+\infty} - \frac{1}{2(a + i (b+1))} \left[ e^{-(a+i(b+1))t} \right]_{0}^{+\infty} = \frac{a+ib}{(a+ib)^2+1} = \frac{s}{s^2+1} \)
Allora il sistema di equazioni trasformato secondo Laplace (nel senso delle distribuzioni) diventa:
Adesso ho un dubbio riguardo \(\displaystyle T(0),T'(0),U(0) \) infatti, nell'ambito delle funzioni queste sono dei numeri ma nell'ambito delle distribuzioni? Se ho inteso bene la teoria (mi sfugge ancora qualcosa) le distribuzioni dovrebbero essere delle famiglie di funzioni che (al limite) tendono ad approssimare una funzione che altrimenti non avrebbe senso per "via tradizionale". Quindi, se non erro, anche \(\displaystyle T(0),T'(0),U(0) \) sono dei numeri, tuttavia il testo (apparentemente) non fornisce alcuna informazione sulle condizioni iniziali del problema. Volendo continuare il ragionamento potrei dire che, essendo \(\displaystyle T,U \in D'_+ \) allora so per certo che tali distribuzioni sono nulle nel semipiano sinistro ed assumono valori solo a partire dallo zero, ma ancora una volta questo non mi assicura nulla riguardo il loro valore in \(\displaystyle 0 \).
Mmm..beh supponendo che siano "numeri" continuo con i calcoli determinando \(\displaystyle T(s) \) dalla 2 :
e sostituendo nella 1:
Dopo una serie di passaggi si raggiunge la forma :
Effettuando la decomposizione in fratti semplici (anche qui con un bel pò di passaggi) si giunge a :
che antitrasformato :
\(\displaystyle U(t) = -u(t) + \frac{9}{13} \left( cos(t) - \frac{31}{27} sen(t) \right) + \left(U(0)+\frac{4}{13}\right)[...] \)
e sinceramente non ho idea di come antitrasformare l'ultimo termine..Inoltre il procedimento mi sembra lungo e macchinoso, di certo (almeno spero) non mi sembra una cosa proponibile durante un esame da 2 ore in cui non c'è solo questo da svolgere..probabilmente mi sto incartando troppo e c'è un metodo più facile/veloce ma non riesco a trovarlo..
[EDIT]
Riguardando la videolezione 40 della uninettuno (questa) mi sono reso conto che forse non ha senso considerare la trasformata bilatera di Laplace (che tiene conto delle condizioni iniziali) infatti (ritornando ancora una volta su) \(\displaystyle T,U \in D'_+ \) quindi stiamo dicendo che i segnali (le distribuzioni) del sistema sono nulli per \(\displaystyle t<0 \).
A questo punto mi sorge un altro dubbio..ma allora (in generale) quando il sistema viene fornito senza condizioni iniziali significa di fatto considerare nulle le condizioni iniziali ? Cioè bisogna utilizzare la trasformata unilatera?
\(\displaystyle \mathcal{L} \{ u(t) \; cos(t) \} \triangleq \int_{-\infty}^{+\infty} u(t)\;cos(t)\;e^{-st} dt = \int_{0}^{+\infty} cos(t) e^{-st} dt \)
Passando alla forma esponenziale del coseno si ha :
\(\displaystyle = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{it}\; e^{-st} dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-it}\; e^{-st} dt \)
Ricordando che \(\displaystyle s = a + ib \) allora gli esponenziali all'interno degli integrali sono una serie di seni e coseni (la parte immaginaria dell'esponenziale) che vengono modulati in ampiezza da un esponenziale del tipo \(\displaystyle e^{Re(s)} \). In questi termini, tali integrali non divergono/hanno senso se \(\displaystyle Re{s} > 0 \) , quindi imponendo tale condizione :
\(\displaystyle = - \frac{1}{2(a + i (b-1))} \left[ e^{-(a+i(b-1))t} \right]_{0}^{+\infty} - \frac{1}{2(a + i (b+1))} \left[ e^{-(a+i(b+1))t} \right]_{0}^{+\infty} = \frac{a+ib}{(a+ib)^2+1} = \frac{s}{s^2+1} \)
Allora il sistema di equazioni trasformato secondo Laplace (nel senso delle distribuzioni) diventa:
\(\displaystyle \Bigg \{ \begin{array}{lcl} s^2 T(s) - s T(0) - T'(0) + s T(s)-T(0)-U(s) & = & 1 + \frac{1}{s} \\ sT(s)-T(0)-2sU(s)+2U(0) & = & \frac{s}{s^2+1} \end{array} \)
Adesso ho un dubbio riguardo \(\displaystyle T(0),T'(0),U(0) \) infatti, nell'ambito delle funzioni queste sono dei numeri ma nell'ambito delle distribuzioni? Se ho inteso bene la teoria (mi sfugge ancora qualcosa) le distribuzioni dovrebbero essere delle famiglie di funzioni che (al limite) tendono ad approssimare una funzione che altrimenti non avrebbe senso per "via tradizionale". Quindi, se non erro, anche \(\displaystyle T(0),T'(0),U(0) \) sono dei numeri, tuttavia il testo (apparentemente) non fornisce alcuna informazione sulle condizioni iniziali del problema. Volendo continuare il ragionamento potrei dire che, essendo \(\displaystyle T,U \in D'_+ \) allora so per certo che tali distribuzioni sono nulle nel semipiano sinistro ed assumono valori solo a partire dallo zero, ma ancora una volta questo non mi assicura nulla riguardo il loro valore in \(\displaystyle 0 \).
Mmm..beh supponendo che siano "numeri" continuo con i calcoli determinando \(\displaystyle T(s) \) dalla 2 :
\(\displaystyle T(s) = \frac{1}{s^2+1} + \frac{T(0)}{s}+ 2 U(s) - 2 \frac{U(0)}{s} \)
e sostituendo nella 1:
\(\displaystyle (s^2+s) \left(\frac{1}{s^2+1} + \frac{T(0)}{s}+ 2 U(s) - 2 \frac{U(0)}{s} \right) - sT(0)-T'(0)-T(0)-U(s)=1 + \frac{1}{s} \)
Dopo una serie di passaggi si raggiunge la forma :
\(\displaystyle U(s) = \frac{2 U(0) s^4 + (2U(0)+T'(0)) s^3 + 2U(0)s^2 + (2U(0)+T'(0)+1) s + 1}{2 s(s^2+1)\left[(s+\frac{1}{2})^2 + (-\frac{3}{4})\right]} \)
Effettuando la decomposizione in fratti semplici (anche qui con un bel pò di passaggi) si giunge a :
\(\displaystyle U(s) = - \frac{1}{s} + \frac{9}{13} \frac{s-\frac{31}{27}}{s^2+1} + \left(U(0)+\frac{4}{13}\right) \frac{s+ \frac{T'(0)+2U(0)+\frac{86}{39}}{2U(0)+\frac{8}{13}}}{(s+\frac{1}{2})^2 + (-\frac{3}{4})} \)
che antitrasformato :
\(\displaystyle U(t) = -u(t) + \frac{9}{13} \left( cos(t) - \frac{31}{27} sen(t) \right) + \left(U(0)+\frac{4}{13}\right)[...] \)
e sinceramente non ho idea di come antitrasformare l'ultimo termine..Inoltre il procedimento mi sembra lungo e macchinoso, di certo (almeno spero) non mi sembra una cosa proponibile durante un esame da 2 ore in cui non c'è solo questo da svolgere..probabilmente mi sto incartando troppo e c'è un metodo più facile/veloce ma non riesco a trovarlo..
[EDIT]
Riguardando la videolezione 40 della uninettuno (questa) mi sono reso conto che forse non ha senso considerare la trasformata bilatera di Laplace (che tiene conto delle condizioni iniziali) infatti (ritornando ancora una volta su) \(\displaystyle T,U \in D'_+ \) quindi stiamo dicendo che i segnali (le distribuzioni) del sistema sono nulli per \(\displaystyle t<0 \).
A questo punto mi sorge un altro dubbio..ma allora (in generale) quando il sistema viene fornito senza condizioni iniziali significa di fatto considerare nulle le condizioni iniziali ? Cioè bisogna utilizzare la trasformata unilatera?
Tanto per dire una cosa molto ignorante...
Dalle equazioni, per derivazione, trai:
\[
T^{\prime \prime \prime} + T^{\prime \prime} - \frac{1}{2} T^\prime + \frac{1}{2} \Big( u(t)\ \cos t\Big)^\prime = \delta(t) + u(t)
\]
che non mi pare troppo complicata da risolvere rispetto a $T$ (abbassi l'ordine di derivazione ponendo $V=T^\prime$, scrivi il termine noto meglio esplicitando la drivata di $u(t)\cos t$, etc, risolvi rispetto a $V$ e trovi $T$...) e ti dovrebbe fornire una soluzione decente (cioè una distribuzione regolare).
A qual punto, trovi la $U$ usando la seconda equazione.
Dalle equazioni, per derivazione, trai:
\[
T^{\prime \prime \prime} + T^{\prime \prime} - \frac{1}{2} T^\prime + \frac{1}{2} \Big( u(t)\ \cos t\Big)^\prime = \delta(t) + u(t)
\]
che non mi pare troppo complicata da risolvere rispetto a $T$ (abbassi l'ordine di derivazione ponendo $V=T^\prime$, scrivi il termine noto meglio esplicitando la drivata di $u(t)\cos t$, etc, risolvi rispetto a $V$ e trovi $T$...) e ti dovrebbe fornire una soluzione decente (cioè una distribuzione regolare).
A qual punto, trovi la $U$ usando la seconda equazione.
Grazie @gugo82, credo di aver capito cosa intendi ma forse hai commesso un errore nella sostituzione. Ricavando :
derivando la prima e sostituendo si dovrebbe avere (se non erro) :
giusto? A questo punto, risolvendo con la trasformazione di Laplace mi ritrovo nel dubbio dello svolgimento nel caso precedente ovvero : non avendo informazioni esplicite sulle condizioni iniziali (sappiamo però che \(\displaystyle T \) è una distribuzione definita in \(\displaystyle [0,+\infty[ \)) allora devo supporre condizioni iniziali nulle?
\(\displaystyle U' = \frac{1}{2} T' - \frac{1}{2} (u(t)\;cos(t)) \)
derivando la prima e sostituendo si dovrebbe avere (se non erro) :
\(\displaystyle T^{'''} + T^{''} - \frac{1}{2} T' + \frac{1}{2}(u(t) \;cos(t)) = \delta'(t) + \delta(t) \)
giusto? A questo punto, risolvendo con la trasformazione di Laplace mi ritrovo nel dubbio dello svolgimento nel caso precedente ovvero : non avendo informazioni esplicite sulle condizioni iniziali (sappiamo però che \(\displaystyle T \) è una distribuzione definita in \(\displaystyle [0,+\infty[ \)) allora devo supporre condizioni iniziali nulle?
Certo, non c'è la derivata del termine "gradino per coseno", hai ragione. 
Per il resto, prova a portarti dietro delle c.i. generiche come hai fatto sopra.
Per il resto, prova a portarti dietro delle c.i. generiche come hai fatto sopra.
Ci ho provato e adesso posto i passaggi, tuttavia non noto nessuna semplificazione nei calcoli purtroppo..
Dunque, consideriamo l'equazione differenziale :
ponendo \(\displaystyle V=T' \) si ha :
Trasformando secondo Laplace nel senso delle distribuzioni si ottiene :
Dopo una serie di passaggi si riesce a ricavare :
A questo punto posso decomporre in fratti semplici. Facendo la decomposizione, indicando con :
si ottiene :
che più o meno è parente del risultato trovato con l'altro metodo. Però adesso, siccome abbiamo posto \(\displaystyle V=T' \), per trovare \(\displaystyle T(s) \) dovrei integrare questo mostro?
PS: Risolvendo con Mathematica ottengo due soluzioni improponibili e chilometriche...
Dunque, consideriamo l'equazione differenziale :
\(\displaystyle T^{'''}+T^{''}-\frac{1}{2} T' + \frac{1}{2} u(t)\;cos(t) = \delta'(t) + \delta(t) \)
ponendo \(\displaystyle V=T' \) si ha :
\(\displaystyle V^{''} +V' - \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} u(t)\;cos(t) = \delta'(t) + \delta(t) \)
Trasformando secondo Laplace nel senso delle distribuzioni si ottiene :
\(\displaystyle s^2 V(s) - s V(0) - V'(0) + sV(s) - V(0) - \frac{1}{2} V(s) + \frac{1}{2} \frac{s}{s^2+1}= s+1 \)
Dopo una serie di passaggi si riesce a ricavare :
\(\displaystyle V(s) = \frac{s^3 (2+2V(0))+s^2(2+2V'(0)+2V(0))+s(2+2V(0)-1)+2+2V'(0)+2V(0)}{2(s^2+1)(s^2+s-\frac{1}{2})} \)
A questo punto posso decomporre in fratti semplici. Facendo la decomposizione, indicando con :
\(\displaystyle \alpha = -\frac{24}{13}V(0)+\frac{6}{13} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \beta = -\frac{2}{13}V(0)+\frac{20}{3} \)
\(\displaystyle k_1 = \frac{\frac{16}{13}V(0)-\frac{4}{3}}{\alpha} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; k_2 = \frac{\frac{34}{13}V(0)+2V'(0)+\frac{24}{13}}{\beta} \)
si ottiene :
\(\displaystyle V(s) = \frac{1}{2} \left[ \alpha \cdot \frac{s+k_1}{s^2+1} + \beta \cdot \frac{s+k_2}{s^2+s-\frac{1}{2}} \right] \)
che più o meno è parente del risultato trovato con l'altro metodo. Però adesso, siccome abbiamo posto \(\displaystyle V=T' \), per trovare \(\displaystyle T(s) \) dovrei integrare questo mostro?
PS: Risolvendo con Mathematica ottengo due soluzioni improponibili e chilometriche...
@gugo82 @dissonance nessuna idea? ormai sono alla frutta con questa tipologia di esercizi..mi sta anche bene fare tutti questi conti però almeno vorrei sapere se mi portano ad un risultato giusto oppure sto solo allenando le dita per nulla..
Purtroppo non ho molto da dirti: il metodo che usi è corretto, e in queste cose non è strano trovarsi di fronte a masse enormi di calcoli. Integrare $V$ mi sembra la migliore via. Non è molto snello ma è pur sempre una funzione razionale e si integra in modo puramente algebrico. Aiutati con Mathematica magari.
"Oiram92":
[EDIT]
Riguardando la videolezione 40 della uninettuno (questa) mi sono reso conto che forse non ha senso considerare la trasformata bilatera di Laplace (che tiene conto delle condizioni iniziali) infatti (ritornando ancora una volta su) \(\displaystyle T,U \in D'_+ \) quindi stiamo dicendo che i segnali (le distribuzioni) del sistema sono nulli per \(\displaystyle t<0 \).
A questo punto mi sorge un altro dubbio..ma allora (in generale) quando il sistema viene fornito senza condizioni iniziali significa di fatto considerare nulle le condizioni iniziali ? Cioè bisogna utilizzare la trasformata unilatera?
Da come è scritto il problema io capisco così: siccome c'è scritto $D'_+$, tutto è ambientato in $[0, \infty)$, per cui va usata la trasformata di Laplace unilaterale. Le condizioni iniziali non sono un grosso problema: la difficoltà grande sta nel risolvere l'equazione non omogenea con condizioni iniziali nulle (non so ora la notazione ingegneristica, forse "risposta all'impulso" o qualcosa del genere...?). Trovata quella, la soluzione generale si ottiene sommando la soluzione del problema omogeneo con condizioni iniziali generiche.
Non so se mi sono spiegato
grazie mille per la risposta, almeno adesso so che il metodo è corretto e quindi bene o male si tratta solo di eseguire una serie di calcoli cercando di non sbagliare. Adesso vedo di approfondire un pò la questione, per oggi sono cotto 
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