Sistema completo e sottospazio denso
Ciao, amici! Trovo negli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin definito un sistema completo di vettori \(\{x_{\alpha}\}\subset R\) di uno spazio normato $R$ un sistema di vettori tali che il sottospazio vettoriale chiuso più piccolo che li contiene è tutto $R$.
Si può quindi dire che un sistema di vettori \(\{x_{\alpha}\}\) di uno spazio normato $R$ è completo se e solo se il sottospazio costituito dall'insieme di tutte le combinazioni lineari di tali vettori è denso in $R$ (dotato di topologia indotta dalla distanza \(d(x,y)=\|x-y\|\))?
Infatti direi che tale insieme di combinazioni lineari, che chiamo $S$, (lo si può scrivere con qualche notazione come $\text{Span}$ o simili?) è il sottospazio vettoriale più piccolo contenente \(\{x_{\alpha}\}\). Quindi se la sua chiusura, cioè il più piccolo sottoinsieme chiuso contenente il sottospazio $S$, è un sottospazio vettoriale anch'essa è quindi contenuta da ogni altro sottospazio chiuso contenente \(\{x_{\alpha}\}\). Perciò se l'insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori $x_{\alpha}$ è denso il sottospazio vettoriale chiuso più piccolo che li contiene è tutto $R$.
Viceversa se non esistono sottospazi chiusi contenuti propriamente in $R$ contenenti \(\{x_{\alpha}\}\) allora l'insieme $S$ di tutte le combinazioni lineari di questi vettori o è $R$ o non è un sottospazio chiuso. Qui, però temo di dire baggianate. Mi sembrerebbe che la chiusura di un sottospazio vettoriale di uno spazio normato sia anch'essa un sottospazio*. Se così fosse, il sottoinsieme chiuso più piccolo contenente $S$, la sua chiusura $\bar{S}$, sarebbe anche un sottospazio, quello più piccolo contenente \(\{x_{\alpha}\}\), che coinciderebbe dunque con $R$, provando anche il "viceversa".
$\infty$ grazie per ogni intervento!!!
*Infatti mi sembra che se $x,x'\in \bar{S}$, cioè se \(\forall\varepsilon>0\exists y\in S:\|x-y\|<\varepsilon\) e \(\forall\varepsilon>0\exists y\in S:\|x'-y'\|<\varepsilon\) esisterebbe anche un $\alpha y+\beta y'\in S$ distante meno di \((|\alpha|+|\beta|)\varepsilon\) da $\alpha x+\beta x'$.
Si può quindi dire che un sistema di vettori \(\{x_{\alpha}\}\) di uno spazio normato $R$ è completo se e solo se il sottospazio costituito dall'insieme di tutte le combinazioni lineari di tali vettori è denso in $R$ (dotato di topologia indotta dalla distanza \(d(x,y)=\|x-y\|\))?
Infatti direi che tale insieme di combinazioni lineari, che chiamo $S$, (lo si può scrivere con qualche notazione come $\text{Span}$ o simili?) è il sottospazio vettoriale più piccolo contenente \(\{x_{\alpha}\}\). Quindi se la sua chiusura, cioè il più piccolo sottoinsieme chiuso contenente il sottospazio $S$, è un sottospazio vettoriale anch'essa è quindi contenuta da ogni altro sottospazio chiuso contenente \(\{x_{\alpha}\}\). Perciò se l'insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori $x_{\alpha}$ è denso il sottospazio vettoriale chiuso più piccolo che li contiene è tutto $R$.
Viceversa se non esistono sottospazi chiusi contenuti propriamente in $R$ contenenti \(\{x_{\alpha}\}\) allora l'insieme $S$ di tutte le combinazioni lineari di questi vettori o è $R$ o non è un sottospazio chiuso. Qui, però temo di dire baggianate. Mi sembrerebbe che la chiusura di un sottospazio vettoriale di uno spazio normato sia anch'essa un sottospazio*. Se così fosse, il sottoinsieme chiuso più piccolo contenente $S$, la sua chiusura $\bar{S}$, sarebbe anche un sottospazio, quello più piccolo contenente \(\{x_{\alpha}\}\), che coinciderebbe dunque con $R$, provando anche il "viceversa".
$\infty$ grazie per ogni intervento!!!
*Infatti mi sembra che se $x,x'\in \bar{S}$, cioè se \(\forall\varepsilon>0\exists y\in S:\|x-y\|<\varepsilon\) e \(\forall\varepsilon>0\exists y\in S:\|x'-y'\|<\varepsilon\) esisterebbe anche un $\alpha y+\beta y'\in S$ distante meno di \((|\alpha|+|\beta|)\varepsilon\) da $\alpha x+\beta x'$.
Risposte
SI si è tutto giusto. In particolare, la chiusura di un sottospazio vettoriale è anch'essa un sottospazio vettoriale
Quindi non ho travisato quanto sto studiando, fiuh... $\aleph_1$ grazie!!! Ti devo fare un monumento...
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