Sissa '09 - Gruppo A

[Nulier]

In preparazione alla prova di ammissione alla SISSA sto provando a svolgere i test degli anni passati. Ho fatto in particolare quello del 2009 e posto qui le mie soluzioni per sapere se sono corrette, non avendo "le risposte", e per capire le parti che mi mancano. In particolare il punto (iii) dell'esercizio 1 e la soluzione dell'esercizio 2.
Non copio il testo degli esercizi dato che è nel pdf (http://www.math.sissa.it/sites/default/files/Entrance_Examinations_pdf/LM-09.pdf).

Esercizio 1.

(i) Se $a\in A$ basta porre $y=a$ e $x=a+h$ e la condizione di appartenza all'insieme $A$ ci dà che
$$
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f^{*}(a)
$$
ossia $f$ derivabile in $a$ e $f'(a)=f^{*}(a)$.

(ii) Fissiamo $\varepsilon>0$. Sia $\delta >0$ tale che se $\|(a,a)-(x,y)\|<\delta$ allora $|f^{*}(a)-\frac{f(x)-f(y)}{x-y}|<\varepsilon$. In corrispondenza di ogni indice $n$ scegliamo allora $(x_n,y_n)\in \mathbb{R}^2\backslash \Delta$ tali che $\|(x_n,y_n)-(a_n,a_n)\|<\frac{\delta}{2}$ e $|f^{*}(a_n)-\frac{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n}|<\varepsilon$. Allora:
$$
|f^{*}(a)-f^{*}(a_n)|\leq |f^{*}(a)-\frac{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n}+\varepsilon|\leq
$$
$$
\leq |f^{*}(a)-\frac{f(x_n)-f(y_n)}{x_n-y_n}|+|\varepsilon|\leq 2\varepsilon
$$
Da cui la tesi.

(iii) ?

Esercizio 2.

Osserviamo che, se $t>t_0$,
$$ |x(t)|=|x_0+\int_{t_0}^{t}{[-f(x(s))-x(s)]ds}|\leq |x_0|+\int_{t_0}^{t}{[\frac{3}{2}|x(s)|+3]ds}\leq
$$
$$
\leq |x_0|+3(t-t_0)+\int_{t_0}^{t}{\frac{3}{2}|x(s)|ds}
$$
Allora, per il lemma di Gronwall,
$$
|x(t)|\leq [|x_0|+3(t-t_0)]e^{\frac{3}{2}(t-t_0)}
$$
E questo ci dà che $x(t)$ è una soluzione globale. Come provare che è limitata per $t\to +\infty$?

Esercizio 3.

Calcoliamo il polinomio caratteristico di $A$.
Si ha
$$
det(A-\lambda I_3)=(\lambda-1)(\lambda^2-2\lambda+1+1492^2+2009^2]
$$
Pertanto $\sigma(A)=\{1,1+\alpha i, 1-\alpha i\}$ dove $\alpha:=\sqrt{1492^2+2009^2}$.
Allora ogni componente di $X(t)$ è combinazione lineare delle funzioni $e^t, e^t \cos (\alpha t), e^t \sin(\alpha t)$.
Pertanto $e^(2t)$ compare nell'espressione di $\|X(t)\|^2$ e si ha che
$$
\lim_{t\to + \infty}e^{-kt}\|X(t)\|^2
$$
vale 0 se $k>2$, $+\infty$ se $k<2$ ed è finito/non esiste nel caso in cui $k=2$.

Esercizio 4.

(i) Vero. Supponiamo che $\sum a_n$ sia convergente. Allora, essendo $a_n,b_n>0$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ si ha:
$$
\frac{a_n b_n}{a_n+b_n}\leq \frac{a_n b_n}{b_n}=a_n
$$
Per il criterio del confronto segue la tesi.

(ii) Falso. Me la cavo considerando $a_n=1$ e $b_n=\frac{1}{n^2}$ se $n$ è pari e $a_n=\frac{1}{n^2}$ e $b_n=1$ se $n$ è dispari.

Esercizio 5.

Supponiamo per assurdo che una sottosequenza come nella tesi non esista.
Definiamo $E_1:=\{c_i \, | i\cdot c_i < 1\}$. Sia $\alpha_1$ il più piccolo indice per cui esiste un elemento appartenente ad $E_1$. Definiamo $E_2:=\{c_i \, | i>\alpha_1, i\cdot c_i < 1\}$ e così via.
Osserviamo che $E_{n+1}\subseteq E_{n}$ e che deve aversi $E_n=\emptyset$ per ogni $n>N$, con $N\in\mathbb{N}$, altrimenti avremmo la sottosequenza che abbiamo supposto non esistere per assurdo.
Allora $c_n>\frac{1}{N}\frac{1}{n}=c\frac{1}{N}$ per ogni $n>N$ da cui segue che la serie diverge. Assurdo.

[_fabricius_1]

Il punto due dell'esercizio 1. implica che se $A$ coincide con tutto l'intervallo allora la derivata di $f$ non solo esiste ma è anche continua. Quindi qualsiasi funzione con derivata discontinua dovrebbe fungere da controesempio.

[Nulier]

Effettivamente $f(x)=(x-a)^2 sin(\frac{1}{x-a})$, con $a\in (0,1)$, dovrebbe funzionare.
Per l'esercizio sulle equazioni differenziali invece?

[Rigel1]

"Nulier":
Per l'esercizio sulle equazioni differenziali invece?

Per semplificare il problema 2 puoi considerare la funzione ausiliaria \(y(t) = e^t x(t)\); una volta ricavata l'equazione differenziale da essa soddisfatta, si dovrebbe ottenere una maggiorazione del tipo
\[
|y(t)| \leq C e^{t/2} + \frac{3}{2} e^t, \qquad t\geq 0,
\]
da cui segue che \(x(t)\) è limitata per \(t\geq 0\).

[_fabricius_1]

Riesco ad ottenere la disuguaglianza \(|y'(t)|\le \frac{1}{2} |y(t)| +3 e^t\) ma poi come procedo per ottenere la tua?

[Rigel1]

"_fabricius_":Riesco ad ottenere la disuguaglianza \(|y'(t)|\le \frac{1}{2} |y(t)| +3 e^t\) ma poi come procedo per ottenere la tua?

Lavorando in AC, puoi considerare \(z(t) = |y(t)|\), in modo che \(z'(t) \leq |y'(t)| \leq \frac{1}{2} z + 3 e^t\).
Da qui ottieni \(0\leq |y(t)| = z(t) \leq C e^{t/2} + 6 e^t\).
(Nella soluzione che avevo scritto compare un \(3/2\) al posto di \(6 = 3\cdot 2\), ma è sempre una costante positiva... Spero che una delle due sia corretta.)

In alternativa, se vuoi rimanere nell'ambito della teoria classica (cioè in \(C^1\)), puoi porre \(w = y^2\) e ricavare una disuguaglianza differenziale per \(w\) (se non ho sbagliato, si arriva a un'equazione di Bernoulli).

Detto questo, non escludo che ci sia qualche metodo più rapido per risolvere il problema.

[Rigel1]

In effetti si può ragionare anche qualitativamente.
Dalle condizioni date, esiste \(M > 0\) tale che \(x+f(x) > 0\) per ogni \(x \geq M\), mentre \(x+f(x) < 0\) per ogni \(x\leq -M\).
Se ci ragioni un po' sopra (basta un disegno), queste condizioni dovrebbero essere sufficienti a garantire che la soluzione sia limitata.

[_fabricius_1]

Per capire se ho capito, la soluzione $x$ resta dunque confinata nell'intervallo $]-M, M[$ ?

P.S. Cosa significa AC?

[Rigel1]

"_fabricius_":Per capire se ho capito, la soluzione $x$ resta dunque confinata nell'intervallo $]-M, M[$ ?

P.S. Cosa significa AC?

Se la soluzione parte da \(|x(0)| < M\), resta confinata nella striscia.
D'altra parte, sopra \(M\) le soluzioni sono monotone decrescenti, mentre sotto \(-M\) sono monotone crescenti.
Complessivamente, tutte le soluzioni sono quindi limitate su \([0,+\infty)\).
(Naturalmente, può succedere che una soluzione con \(x(0) > M\) decresca monotonamente sotto la quota \(M\) e poi rimanga confinata fra \(-M\) ed \(M\), e analogamente per le soluzioni che partono sotto \(-M\).)
Volendo, si può fare un'analisi più raffinata (ma non richiesta) tenendo conto degli zeri della funzione \(g(x) = -x - f(x)\) che, per quanto detto, devono stare tutti in \((-M, M)\).

AC significa Assolutamente Continua.

[Nulier]

"Rigel":

Lavorando in AC, puoi considerare \(z(t) = |y(t)|\), in modo che \(z'(t) \leq |y'(t)| \leq \frac{1}{2} z + 3 e^t\).
Da qui ottieni \(0\leq |y(t)| = z(t) \leq C e^{t/2} + 6 e^t\).

Due domande: la prima è, intuitivamente, come ti è venuto in mente di scegliere quel tipo di funzione ausilaria (salvo il fatto che con le equazioni differenziali l'esponenziale è sempre cool) e la seconda è in base a quale risultato teorico passi da quella disequazione differenziale a quella disequazione sulla funzione $z(t)$?

La versione qualitativa invece mi è chiara, unico dubbio è come ottieni quelle due condizioni di positività e negatività al di fuori dell'intervallo $[-M,M]$ per l'espressione $x+f(x)$.

[Rigel1]

"Nulier":
Due domande: la prima è, intuitivamente, come ti è venuto in mente di scegliere quel tipo di funzione ausilaria

Solo per riscrivere la parte lineare \(x'+x\) come \(y'\) (a meno di \(e^t\)).

e la seconda è in base a quale risultato teorico passi da quella disequazione differenziale a quella disequazione sulla funzione $z(t)$?

Nessun risultato teorico in particolare; se \(z(t) = |y(t)|\) con \(y\) derivabile, dove \(y(t) \neq 0\) si ha che \(z'(t) = y'(t) \, \text{sign} y(t)\), dunque \(z'(t) \leq |y'(t)|\).

La versione qualitativa invece mi è chiara, unico dubbio è come ottieni quelle due condizioni di positività e negatività al di fuori dell'intervallo $[-M,M]$ per l'espressione $x+f(x)$.

Beh, hai che
\[
x + f(x) \leq x + |x| / 2 + 3
\]
e per \(x < -6\) il secondo membro è negativo.
Analogamente
\[
x + f(x) \geq x - |x| / 2 - 3,
\]
e per \(x > 6\) il secondo membro è positivo. Puoi dunque scegliere \(M = 6\) per avere quanto detto.

[Nulier]

Ho fatto domande stupide in effetti

Ad ogni modo ho aggiunto la soluzione dell'esercizio 3 al primo post

[Giso1]

Ciao! Volevo discutere anch'io di quel problema 3. Io avrei risolto come te, ma c'è qualcosa che mi lascia perplesso.

Nel caso $k \le 2$ si avrebbe una funzione del genere $e^{(2-k)t}(\ldots)$ dove nella parentesi ci sono costanti, seni, coseni, (anche quadri) e combinazioni di questi. Ma allora il termine dentro la parentesi, a priori, potrebbe tranquillamente oscillare tra valori positivi, negativi e/o nulli, e il limite non esistere.

Come si aggira (se si può) questa difficoltà? Calcolare la matrice esponenziale mi pare un po' troppo contoso..ma al momento non vedo altro metodo per distinguere il caso limite finito da quello in cui non esiste

[Nulier]

Sì, effettivamente credo che l'unico modo per stabilire il comportamento nel caso $k=2$ sia proprio calcolare la matrice esponenziale ed arrivare alla soluzione esplicita del problema...