|sinx|<=|x|

[Daddo1]

Ciao raga,
lo so ke è 1 banalità ma non riesco a capire la dimostrazione!com'è articolata??

Grazie mille

[Sk_Anonymous]

Non so a che dimostrazione ti riferisci, ma la prima che mi e' venuta in mente e' la seguente. Anzitutto, la disuguaglianza significativa e'sen x <= x per x>0 (per x<0 la situazione e' simmetrica). Consideriamo ora la funzione g(x)=sen x-x. Intanto g(0) <=0; poi g'(x)=cos x -1 <=0 per ogni x. Dunque g decresce, quindi g(x)<=0 per ogni x>0, da cui sen x <= x per ogni x>0.

Luca.

[crsclaudio]

Secondo me l'unica soluzione è x=0 in cui |sinx|=|x|.

Le due funzioni sono tangenti per x-->0 sia da destra che da sinistra.
Non vuol die però che esiste la derivata per x=0, in quanto il limite di f'(x) per x-->0+ è diverso dal limite per x-->0-; essi valgono rispettivamente +1 e -1. Le due funzioni si toccano in x=0, ma la funzione |sinx| è sempre più piccola di |x| e quindi abbiamo un solo punto soluzione.

[Sk_Anonymous]

Non ho capito nulla di quello che hai scritto; secondo me stai facendo un po' di confusione con le tangenti...

Luca.

[Sk_Anonymous]

Secondo me e' sufficiente osservare che nel
cerchio trigonometrico (come in un qualunque
altro cerchio) e' corda<= arco sotteso e dunque
(tenuto conto che arco =(raggio) per (angolo sotteso in radianti):
2|sinx|<=1*2|x|---->|sinx|<=|x|.
karl.

[Sk_Anonymous]

Bellissima la tua dimostrazione. Pero', se mi permetti, presuppone di sapere che in un cerchio la lunghezza della corda e' minore di quella dell'arco. Non so se esiste una dimostrazione elementare di questo, che si fa a scuola in un normale corso di geomteria euclidea. Il fatto generale e' che il segmento e' il percorso di minima lunghezza (nello spazio euclideo), ma dimostrare questo e' tutt'altro che elementare.

Luca.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Scusa Luca, sono molto ignorante in proposito in quanto che la geometria euclidea la ho solo accennata alle superiori, ma per quanto riguarda "il segmento e' il percorso di minima lunghezza (nello spazio euclideo), ma dimostrare questo e' tutt'altro che elementare.", non basta considerare la struttura dello spazio vettoriale euclideo, definire in esso la norma euclidea e la relativa metrica, a quel punto, mostrando che la definizione è ben posta, questa proprietà è proprio la disuguaglianza triangolare, che deve essere verificata perchè appunto sia validsa la metrica?

[Sk_Anonymous]

Si, ma l'arco e' curvo, la disuguaglianza triangolare non ti aiuta. Non e' elementare dimostrare che il segmento realizza la lunghezza minima tra tutte le curve che connettono due punti dati. E' il cosidetto problema delle geodetiche.

Luca.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Ok, ma la disuguaglianza triangolare dice che la distanza tra due punti è sempre minore od al più uguale della distanza calcolata passando per un terzo punto, che può o non può giacere sul minimo percorso congiungente i due punti, a questo punto non è autoevidente che tutti i punti appartenenti ad un arco possono essere considerati come i "terzi punti" di cui sopra?
Detto ciò mi permetto di chiederti un consiglio: per un approccio assiomatico alla geometria euclidea, che testo mi consiglieresti?

[Sk_Anonymous]

La mia risposta era diretta a Daddo che
non credo si ponesse di simili problemi
quando ha formulato il suo quesito!
Se avessi dovuto,per assurdo s'intende!,rispondere
a Luca77 o a Giovanni il Chimico (ma perche' un tale
nick? Mi ricorda "Ali' il chimico" di sinistra memoria)
mi sarei guardato bene dal tirare in ballo quello
che nella geometria di Euclide e' solo un fatto
intuitivo ma che ,in astratto,puo' diventare fonte
di difficili discussioni e,aggiungo io, di notevoli guai
per i fondamenti della geometria.
karl.

[crsclaudio]

Per Luca

Vorresti dirmi che le funzioni y=sinx e y=x non sono tangenti per x=0.

La derivata di sinx in 0 è 1 e lo è anche quella di x, inoltre passano per lo stesso punto (l'origine)

Se ne faccio il modulo di entrambe allora in 0 perdo la derivazione di entrambe, perchè il limite della derivata prima per x-->0- è -1 mentre quello per x-->0+ è 1. I due "rami" della funzione |x| si appoggiano sulla funzione |sinx| in x=0, ma rimangono sempre più alti.

Spero di essere stato più chiaro....

[Sk_Anonymous]

Si, ma devi dimostrare che rimangono piu' alti. Non vedo una dimostrazione nei tuoi passaggi.

Per Giovanni: non funziona considerare l'arco come insieme dei terzi punti, perlomeno e' solo un'idea intuitiva, ma non facilmente formalizzabile. Per un approccio assiomatico ci vuole un testo per le scuole superiori... non ne conosco di nuovi, magari qualcun altro sapra' rispondere per me; oppure direttamente gli Elementi di Euclide.

Luca.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Grazie Luca per la risposta, cmq effettivamente la mia era solo un'idea intuitiva che come temevo si è mostrata fallace, per il libro io pensavo proprio agli elementi di euclide, secondo te che edizioni si trovano?

[Sk_Anonymous]

Io ho la bellissima edizione commentata da Attilio Frayese, della UTET; pensa che la sera prima di dormire mi leggo una proposizione con dimostrazione. Dovrei calcolare quando finiro' tutti e 13 i libri...

Costa un po' caro pero', circa 65 euro. Se pero' sei appassionato, ne vale la pena. E' la Bibbia della Geometria sintetica.

Luca.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Grasie! Vedo che sei mod, come faccio a cangiare, come scriverebbe Camilleri, il mio nick?